Discutar os sistemas de equações lineares abaixo indicados de acordo com o(s) valor(es) do(s) parâmetro(s).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente discutir um sistema de equações lineares que tem um parâmetro, o . Isso significa que o valor de vai influenciar se o sistema tem uma solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para resolver isso, vamos precisar usar o que a gente chama de determinante e espaços das soluções dos sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que a gente tem:
3x + y - z = 1 x - 2y + 2z = m x + y - z = 1
Nosso objetivo é descobrir para quais valores de esse sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução.
Passo 3
Para entender o comportamento desse sistema, vamos montar a matriz dos coeficientes e a matriz aumentada. A matriz dos coeficientes é:
A = 3 & 1 & -1 1 & -2 & 2 1 & 1 & -1
E a matriz aumentada, que inclui os termos constantes à direita das equações, é:
Agora, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes det(A) = 3 cdot (-2 cdot (-1) - 2 cdot 1) - 1 cdot (1 cdot (-1) - 2 cdot 1) + (-1) cdot (1 cdot 1 - (-2) cdot 1) . O determinante nos ajuda a saber se o sistema tem uma única solução (determinante diferente de zero) ou se pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução (determinante igual a zero).
Como o determinante de 3x + y - z = 1 (Equação 1) é zero ( x + y - z = 1 (Equação 3) ), isso significa que o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução. Para descobrir qual delas é, precisamos analisar a consistência do sistema.
Vamos ver se as equações são compatíveis. Para isso, vamos verificar se a terceira equação pode ser obtida como combinação das duas primeiras.
Observando as equações 1 e 3:
(3x + y - z) - (x + y - z) = 1 - 1 çã
2x = 0 Rightarrow x = 0 çã
Subtraindo a Equação 3 da Equação 1:
0 + y - z = 1 Rightarrow y - z = 1
0 - 2y + 2z = m Rightarrow -2y + 2z = m
Mas substituindo 2y - 2z = 2 na Equação 3:
(2y - 2z) + (-2y + 2z) = 2 + m Rightarrow 0 = 2 + m Rightarrow m = -2
E na Equação 2:
Como , podemos multiplicar por 2:
Agora, somando com :
Resposta
O sistema tem uma solução única quando . Para qualquer outro valor de , o sistema é inconsistente e não possui solução.