Discutar os sistemas de equações lineares abaixo indicados de acordo com o(s) valor(es) do(s) parâmetro(s).
Passo 1
Vamos analisar o sistema de equações lineares dado:
x + b y + a z = 1 x + a b y + z = b a x + b y + z = 1
Esse exercício envolve sistemas de equações lineares e parâmetros (a e b). Precisamos determinar para quais valores de e o sistema possui uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para isso, utilizaremos o método de matriz aumentada e o determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema e a matriz aumentada:
Matriz dos coeficientes A = 1 & b & a 1 & a b & 1 a & b & 1 :
[A|B] = 1 & b & a & | & 1 1 & a b & 1 & | & b a & b & 1 & | & 1
Matriz aumentada :
Passo 3
Para determinar a quantidade de soluções, calculamos o determinante da matriz det(A) = 1 cdot (a b cdot 1 - 1 cdot b) - b cdot (1 cdot 1 - a cdot 1) + a cdot (1 cdot b - a b cdot a) . Se o determinante for diferente de zero, o sistema possui uma única solução. Se for zero, precisamos investigar mais a fundo.
Calculando o determinante de det(A) = 1 cdot (a b - b) - b cdot (1 - a) + a cdot (b - a^2 b) :
det(A) = b(a - 1) - b(1 - a) + a b (1 - a^2)
det(A) = b(a - 1 - 1 + a) + a b (1 - a^2)
det(A) = b(2a - 2) + a b (1 - a^2)
det(A) = 2a b - 2b + a b - a^3 b
det(A) = (2a b + a b) - 2b - a^3 b
det(A) = 3a b - 2b - a^3 b
det(A) = b(3a - 2 - a^3)
Passo 4
Agora, analisamos o valor de :
Se : O sistema tem uma única solução.
Se : O sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução, dependendo das equações.
a^3 - 3a + 2 = 0 implies (a - 1)(a^2 + a - 2) = 0 implies (a - 1)(a + 2)(a - 1) = 0
Ou seja, para e .
Resolvendo :
Então, as raízes são (multiplicidade 2) e .
Portanto, para e , , o sistema tem uma única solução.
Passo 6
Agora, consideramos quando b(3a - 2 - a^3) = 0 :
x + 0 cdot y + a z = 1 Rightarrow x + a z = 1 x + 0 + z = 0 Rightarrow x + z = 0 a x + 0 + z = 1 Rightarrow a x + z = 1
Isso ocorre quando:
-x + a z = 1 implies -(-z) + a z = 1 implies z + a z = 1 implies z (1 + a) = 1 implies z = 11 + a
a ( -11 + a ) + 11 + a = 1 implies -a1 + a + 11 + a = 1 implies 1 - a1 + a = 1 , ou seja, 1 - a = 1 + a implies -a = a implies a = 0 com soluções x = -1, y é livre, z = 1 e x + b y + z = 1 x + b y + z = b x + b y + z = 1 .
Vamos analisar cada caso:
Caso 1: x + b y - 2 z = 1 x - 2b y + z = b -2 x + b y + z = 1
Substituindo no sistema:
Da segunda equação, .
Substituindo na primeira:
E .
Substituindo na terceira equação:
Então, quando e , o sistema é consistente e possui uma única solução:
é
Caso 2:
Substituindo no sistema e :
A segunda equação implica , ou seja, .
Portanto, para e , o sistema possui infinitas soluções.
Caso 3:
Substituindo no sistema:
Resolvendo esse sistema, encontramos que ele é inconsistente, ou seja, não possui solução.