Em cada um dos itens abaixo calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função.
g)
.
g)
Passo 1
Então, mano, a gente tem uma função
e precisa calcular as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
e
. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Vamos precisar saber como derivar funções compostas e aplicar regras básicas de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, tratamos
como uma constante.
Passo 3
A função
tem duas partes:
e
. Vamos derivar cada uma separadamente.
Passo 4
Derivando
em relação a
:
Porque
é constante e a derivada de
é 1.
Passo 5
Agora, derivando
em relação a
. Aqui, usamos a regra da cadeia. Primeiro, consideramos
, então temos
.
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia:
Sabemos que
.
Passo 7
Substituindo de volta:
Podemos simplificar usando a identidade
:
Passo 8
Agora, somamos as duas partes derivadas:
Passo 9
Vamos agora calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
como uma constante.
Passo 10
Similarmente, derivamos cada parte da função:
Para
:
Passo 11
Para
, usamos novamente a regra da cadeia:
Simplificando com a identidade trigonométrica:
Passo 12
Somando as duas partes derivadas:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e