Em cada um dos itens abaixo calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função.
g) f(x, y) = 2xy + sen²(xy).

Passo 1

Então, mano, a gente tem uma função e precisa calcular as derivadas parciais de primeira ordem em relação a e . Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Vamos precisar saber como derivar funções compostas e aplicar regras básicas de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, tratamos como uma constante.

Passo 3

A função tem duas partes: e . Vamos derivar cada uma separadamente.

Passo 4

Derivando em relação a :
Porque é constante e a derivada de é 1.

Passo 5

Agora, derivando em relação a . Aqui, usamos a regra da cadeia. Primeiro, consideramos , então temos .

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia:
Sabemos que .

Passo 7

Substituindo de volta:
Podemos simplificar usando a identidade :

Passo 8

Agora, somamos as duas partes derivadas:

Passo 9

Vamos agora calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos como uma constante.

Passo 10

Similarmente, derivamos cada parte da função:
Para :

Passo 11

Para , usamos novamente a regra da cadeia:
Simplificando com a identidade trigonométrica:

Passo 12

Somando as duas partes derivadas:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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