Em cada um dos itens abaixo, usando a definição, determine as derivadas parciais de primeira ordem.
f) f(x, y, z) = x + y * z - x^2 * z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos as derivadas parciais de primeira ordem da função usando a definição de derivada parcial. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar usar a definição de derivada parcial, que envolve calcular um limite.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A definição de derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, subtraindo :
Simplificando:

Passo 4

Agora, dividimos pelo :
Tomando o limite quando :

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , . Usando a definição:

Passo 6

Calculando :
Subtraindo :
Simplificando:

Passo 7

Dividindo por :
Tomando o limite quando :

Passo 8

Por último, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , :

Passo 9

Calculando :
Subtraindo :
Simplificando:

Passo 10

Dividindo por :
Tomando o limite quando :

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são:

Exercícios relacionados