Em cada um dos itens abaixo, usando a definição, determine as derivadas parciais de primeira ordem.
f)
.
f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos as derivadas parciais de primeira ordem da função
usando a definição de derivada parcial. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar usar a definição de derivada parcial, que envolve calcular um limite.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A definição de derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora, subtraindo
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, dividimos pelo
:
Tomando o limite quando
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
,
. Usando a definição:
Passo 6
Calculando
:
Subtraindo
:
Simplificando:
Passo 7
Dividindo por
:
Tomando o limite quando
:
Passo 8
Por último, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
,
:
Passo 9
Calculando
:
Subtraindo
:
Simplificando:
Passo 10
Dividindo por
:
Tomando o limite quando
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem são: