Em cada um dos itens abaixo calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função.
i) f(x, y) = raiz(x y) - x y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar lembrar como derivar funções que envolvem raízes e produtos de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , denotada por . Quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante.
A função é:
Vamos derivar cada termo separadamente.

Passo 3

Derivando em relação a :
Podemos reescrever como . Usamos a regra da potência e a regra do produto:

Passo 4

Derivando em relação a :
Aqui, tratamos como constante:

Passo 5

Agora, juntamos as duas derivadas:

Passo 6

Simplificando a expressão:
Podemos fatorar :

Passo 7

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , denotada por . Aqui, tratamos como uma constante.
Derivando em relação a :

Passo 8

Derivando em relação a :

Passo 9

Juntando as duas derivadas:

Passo 10

Simplificando a expressão:
Fatoramos :

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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