Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem que determinar se a série
é convergente ou divergente. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas, que é parte do cálculo, mais especificamente da análise de sequências e séries. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e aplicar alguns testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Sabemos que
pode ser reescrito usando as propriedades dos logaritmos:
Então, a série original fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar a série
. Essa série é a soma dos logaritmos naturais dos números naturais. Para verificar se essa série converge ou diverge, podemos comparar com uma série que conhecemos o comportamento, como a série harmônica
, que sabemos que é divergente.
Passo 4
Vamos usar o teste da integral para analisar a convergência da série
. O teste da integral diz que se a integral de uma função
diverge, então a série
também diverge.
Consideremos a função
. Calculamos a integral indefinida:
E a integral definida de 1 a infinito:
Calculando os limites:
Como
cresce mais rápido que
, o limite tende a infinito, ou seja, a integral diverge.
Passo 5
Como a integral de
diverge, pelo teste da integral, a série
também diverge. Lembrando que nossa série original é
, que é basicamente essa mesma série multiplicada por
. A convergência ou divergência não muda com essa multiplicação.
Resposta
A série
é divergente.