Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes
(d) sumn=1^infty ln 1n

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem que determinar se a série é convergente ou divergente. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas, que é parte do cálculo, mais especificamente da análise de sequências e séries. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e aplicar alguns testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Sabemos que ln 1n = ln 1 - ln n = 0 - ln n = -ln n pode ser reescrito usando as propriedades dos logaritmos:
sumn=1^infty ln 1n = sumn=1^infty -ln n = -sumn=1^infty ln n
Então, a série original fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar a série . Essa série é a soma dos logaritmos naturais dos números naturais. Para verificar se essa série converge ou diverge, podemos comparar com uma série que conhecemos o comportamento, como a série harmônica , que sabemos que é divergente.

Passo 4

Vamos usar o teste da integral para analisar a convergência da série integral ln x , dx = x ln x - x + C . O teste da integral diz que se a integral de uma função integral1^infty ln x , dx = limb to infty [ x ln x - x ]1^b diverge, então a série limb to infty (b ln b - b) - (1 cdot 0 - 1) = limb to infty (b ln b - b) + 1 também diverge.
Consideremos a função . Calculamos a integral indefinida:
E a integral definida de 1 a infinito:
Calculando os limites:
Como cresce mais rápido que , o limite tende a infinito, ou seja, a integral diverge.

Passo 5

Como a integral de diverge, pelo teste da integral, a série também diverge. Lembrando que nossa série original é , que é basicamente essa mesma série multiplicada por . A convergência ou divergência não muda com essa multiplicação.

Resposta

A série é divergente.

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