Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série é convergente usando o Teste da Razão. Esse teste é uma ferramenta da Análise de Séries que nos ajuda a verificar a convergência de uma série infinita.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série , calculamos o limite:
Se , a série converge absolutamente.
Se ou é infinito, a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso na nossa série an+1an = 1(n+1)!1n! = n!(n+1)! . Aqui, .
Vamos calcular :
Passo 4
Simplificando a expressão:
n!(n+1)! = n!(n+1) times n! = 1n+1
Passo 5
Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty 1n+1 = 0 tende ao infinito:
Resposta
Como , pelo Teste da Razão, a série é convergente.