Usando o teste da razão, determine se as séries são ou não convergentes:
© sumn=1^infty 1n!

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série é convergente usando o Teste da Razão. Esse teste é uma ferramenta da Análise de Séries que nos ajuda a verificar a convergência de uma série infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série L = limn to infty | an+1an | , calculamos o limite:
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se ou é infinito, a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso na nossa série an+1an = 1(n+1)!1n! = n!(n+1)! . Aqui, .
Vamos calcular :

Passo 4

Simplificando a expressão:
n!(n+1)! = n!(n+1) times n! = 1n+1

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty 1n+1 = 0 tende ao infinito:

Resposta

Como , pelo Teste da Razão, a série é convergente.

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