Use a definição para mostrar se as funções f(x, y) = 2x^2 - y^2 e g(x, y) = 2xy são diferenciáveis em R^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar se as funções e são diferenciáveis em . Para isso, vamos usar a definição de diferenciabilidade, que envolve verificar se existe uma aproximação linear que bem aproxima a função perto de qualquer ponto no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável. Uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada por um plano tangente nesse ponto. Isso implica que as derivadas parciais de existem e são contínuas nesse ponto. Então, para mostrar que e são diferenciáveis em , vamos verificar se as derivadas parciais de ambas existem e são contínuas em todos os pontos de .

Passo 3

Vamos começar com a função . Vamos calcular as derivadas parciais em relação a e :
Ambas as derivadas são polinômios em e , então elas são contínuas em todo .

Passo 4

Agora, vamos para a função . Calculamos as derivadas parciais também em relação a e :
Assim como antes, essas derivadas são polinômios e, portanto, contínuas em todo .

Passo 5

Como tanto quanto possuem derivadas parciais que existem e são contínuas em todo , de acordo com a definição de diferenciabilidade, isso significa que ambas as funções são diferenciáveis em .

Resposta

As funções e são diferenciáveis em .

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