Use a definição para mostrar se as funções
e
são diferenciáveis em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar se as funções
e
são diferenciáveis em
. Para isso, vamos usar a definição de diferenciabilidade, que envolve verificar se existe uma aproximação linear que bem aproxima a função perto de qualquer ponto no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável. Uma função
é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada por um plano tangente nesse ponto. Isso implica que as derivadas parciais de
existem e são contínuas nesse ponto. Então, para mostrar que
e
são diferenciáveis em
, vamos verificar se as derivadas parciais de ambas existem e são contínuas em todos os pontos de
.
Passo 3
Vamos começar com a função
. Vamos calcular as derivadas parciais em relação a
e
:
Ambas as derivadas são polinômios em
e
, então elas são contínuas em todo
.
Passo 4
Agora, vamos para a função
. Calculamos as derivadas parciais também em relação a
e
:
Assim como antes, essas derivadas são polinômios e, portanto, contínuas em todo
.
Passo 5
Como tanto
quanto
possuem derivadas parciais que existem e são contínuas em todo
, de acordo com a definição de diferenciabilidade, isso significa que ambas as funções são diferenciáveis em
.
Resposta
As funções
e
são diferenciáveis em
.