Para cada um dos itens abaixo, calcule a integral. integral 1(1+4 x)^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 1(1+4 x)^2 , dx. Esse exercício está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente lidando com integrais que envolvem funções racionais. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar a integral transformando-a em algo mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da integral. Vamos definir:
u = 1 + 4x
Isso porque a expressão 1 + 4x está no denominador e ao substituí-la por u, a integral fica mais simples.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx. Derivando u:
dudx = 4 Rightarrow dx = du4
Substituindo u e dx na integral original, temos:
integral 1u^2 cdot du4 = 14 integral 1u^2 , du

Passo 4

Agora, vamos integrar 1u^2 em relação a u. Lembrando que:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C (para n neq -1)
Aplicando isso:
integral 1u^2 , du = integral u^-2 , du = u^-1-1 + C = -1u + C

Passo 5

Substituindo de volta u = 1 + 4x na expressão que encontramos:
14 ( -1u ) + C = -14(1 + 4x) + C

Resposta

A integral é igual a -14(1 + 4x) + C.

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