Para cada um dos itens abaixo, calcule a integral. integral x^2 raiz8+x^3 d x

Passo 1

Ok, vamos lá! O problema que você me passou é calcular a integral de . Isso está na área de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo substituição, que é uma técnica para simplificar integrais mais complicadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer uma substituição adequada e aplicar as regras de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável para simplificar o cálculo. Observamos que dentro da raiz quadrada temos u = 8 + x^3 . Vamos chamar isso de .
Então, definimos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 3x^2 em relação a x^2 dx = du3 para substituir o diferencial . Calculando a derivada de :
Isso pode ser rearranjado para expressar :

Passo 4

Vamos substituir integral x^2 raiz8 + x^3 , dx = integral raizu cdot du3 = 13 integral u^12 , du e na integral original. A integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^n , du = u^n+1n+1 + C em relação a integral u^12 , du = u^3232 + C = 23 u^32 + C . A regra de integração que usamos aqui é:
13 cdot 23 u^32 = 29 u^32 + C
Onde :
Multiplicando pelo fator que tínhamos anteriormente ( ):

Passo 6

Finalmente, vamos substituir 29 u^32 + C = 29 (8 + x^3)^32 + C de volta pela expressão original :

Resposta

A integral de 29 (8 + x^3)^32 + C é:

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