Para cada um dos itens abaixo, calcule a integral.

Passo 1

Ok, vamos lá! O problema que você me passou é calcular a integral de . Isso está na área de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo substituição, que é uma técnica para simplificar integrais mais complicadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer uma substituição adequada e aplicar as regras de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável para simplificar o cálculo. Observamos que dentro da raiz quadrada temos . Vamos chamar isso de .
Então, definimos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir o diferencial . Calculando a derivada de :
Isso pode ser rearranjado para expressar :

Passo 4

Vamos substituir e na integral original. A integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a . A regra de integração que usamos aqui é:
Onde :
Multiplicando pelo fator que tínhamos anteriormente ( ):

Passo 6

Finalmente, vamos substituir de volta pela expressão original :

Resposta

A integral de é:

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