Para cada um dos itens abaixo, calcule a integral.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a integral de
em relação a
. Esse tipo de problema faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente usando a técnica de substituição. Vamos precisar identificar uma parte da função que, quando derivada, apareça na expressão da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma parte da função para chamar de
. Observando a integral, vemos que
está elevado ao cubo, e multiplicado por
. Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
para encontrar
. Derivando
:
Passo 4
Rearranjando a expressão da derivada, temos:
Isso é ótimo porque
aparece exatamente na nossa integral original.
Passo 5
Com a substituição, podemos reescrever a integral em termos de
:
Passo 6
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Por fim, substituímos
de volta pela expressão original em termos de
:
Resposta
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