Para cada um dos itens abaixo, calcule a integral. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a integral de em relação a . Esse tipo de problema faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente usando a técnica de substituição. Vamos precisar identificar uma parte da função que, quando derivada, apareça na expressão da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma parte da função para chamar de . Observando a integral, vemos que está elevado ao cubo, e multiplicado por . Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a para encontrar . Derivando :

Passo 4

Rearranjando a expressão da derivada, temos:
Isso é ótimo porque aparece exatamente na nossa integral original.

Passo 5

Com a substituição, podemos reescrever a integral em termos de :

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, substituímos de volta pela expressão original em termos de :

Resposta

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