Para cada um dos itens abaixo, calcule a integral. integral(2 x+1) cdot(x^2+x-1)^3 d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a integral de (2x + 1) cdot (x^2 + x - 1)^3 em relação a x. Esse tipo de problema faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente usando a técnica de substituição. Vamos precisar identificar uma parte da função que, quando derivada, apareça na expressão da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma parte da função para chamar de u. Observando a integral, vemos que (x^2 + x - 1) está elevado ao cubo, e multiplicado por (2x + 1). Então, vamos definir:
u = x^2 + x - 1

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du. Derivando u:
dudx = 2x + 1

Passo 4

Rearranjando a expressão da derivada, temos:
du = (2x + 1) , dx
Isso é ótimo porque (2x + 1) , dx aparece exatamente na nossa integral original.

Passo 5

Com a substituição, podemos reescrever a integral em termos de u:
integral (2x + 1) cdot (x^2 + x - 1)^3 , dx = integral u^3 , du

Passo 6

Agora, vamos integrar u^3 em relação a u:
integral u^3 , du = u^44 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, substituímos u de volta pela expressão original em termos de x:
(x^2 + x - 1)^44 + C

Resposta

(x^2 +x -1)^44 + C

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