Para cada um dos itens abaixo, calcule a integral. integral 16 sen^2(pi x) cos (pi x) d x.

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício envolve o cálculo de integrais que utilizam funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição, que é muito útil quando temos uma função composta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos chamar de u = sen(pi x) . Olhando para a integral, percebemos que é uma função dentro de outra função. Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = pi cos(pi x) em relação a du = pi cos(pi x) , dx , ou seja, . Calculando:
Isso significa que:

Passo 4

Vamos rearranjar a expressão para dx = dupi cos(pi x) para encontrar :

Passo 5

Substituindo integral 16 sen^2(pi x) cos (pi x) , dx = integral 16 u^2 cos(pi x) cdot dupi cos(pi x) e = integral 16pi u^2 , du na integral original:
Aqui, se cancela:

Passo 6

Agora, a integral ficou mais simples:
integral 16pi u^2 , du = 16pi integral u^2 , du
Sabemos que:
integral u^2 , du = u^33 + C
Então:
16pi cdot u^33 + C = 163pi u^3 + C

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão:

Resposta

A integral é igual a:

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