Para cada um dos itens abaixo, calcule a integral. integral x(1+4 x^2)^8 d x.

Passo 1

Vamos resolver a integral integral x(1+4 x^2)^8 dx. Esse exercício faz parte do cálculo integral, especificamente da técnica de substituição. Para resolver, vamos identificar uma parte da expressão que vamos substituir por outra variável para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais fácil. Observamos que temos a expressão 1 + 4x²² elevada à oitava potência. Vamos chamar essa parte de u.
u = 1 + 4x^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x para achar du.
dudx = 8x
Isso significa que:
du = 8x , dx

Passo 4

Na nossa integral original, temos x , dx. Vamos isolar x , dx na expressão de du:
x , dx = du8

Passo 5

Substituindo u e x , dx na integral original, ficamos com:
integral x(1 + 4x^2)^8 dx = integral u^8 cdot du8 = 18 integral u^8 du

Passo 6

Agora, vamos integrar u^8:
18 integral u^8 du = 18 cdot u^99 + C = u^972 + C

Passo 7

Por fim, substituímos u de volta para a expressão original em termos de x:
(1 + 4x^2)^972 + C

Resposta

(1 + 4x^2)^972 + C

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