Para cada um dos itens abaixo, calcule a integral. integral(x^3 / 2-4 x^1 / 2+7 x^-1+x^-2) d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem para resolver a integral de . Isso tudo faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente da integração de funções polinomiais e racionais. Para resolver, vamos usar a regra do poder, que é super útil para integrar funções que são potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a regra do poder: para qualquer função , a integral é , onde . Isso facilita muito quando estamos integrando termos individuais.

Passo 3

Vamos começar integrando o primeiro termo: integral x^3/2 dx = x^(3/2)+1(3/2)+1 = x^5/25/2 = 25x^5/2 .
Aplicando a regra do poder:

Passo 4

Agora, o segundo termo: integral -4x^1/2 dx = -4 cdot x^(1/2)+1(1/2)+1 = -4 cdot x^3/23/2 = -4 cdot 23x^3/2 = -83x^3/2 .
Novamente, aplicamos a regra do poder:

Passo 5

Seguimos para o terceiro termo: integral 7x^-1 dx = 7 ln|x| + C .
Aqui precisamos lembrar que quando , a integral de é o logaritmo natural:
Mas vamos continuar juntando tudo no final.

Passo 6

Por último, o quarto termo: integral x^-2 dx = x^(-2)+1(-2)+1 = x^-1-1 = -x^-1 = -1x .
Aplicando a regra do poder:

Resposta

Juntando todas as integrais que calculamos, a solução completa é:
integral(x^3 / 2 - 4x^1 / 2 + 7x^-1 + x^-2) dx = 25x^5/2 - 83x^3/2 + 7ln|x| - 1x + C
Onde é a constante de integração.

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