Para cada um dos itens abaixo, calcule a integral. integral 3 tan (x) sec ^3(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . A gente vai usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente técnicas de substituição envolvendo funções trigonométricas. Então, precisamos entender um pouco sobre as identidades trigonométricas e como aplicá-las para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral tirando o fator constante 3 para facilitar o cálculo:
integral 3 tan(x) sec^3(x) , dx = 3 integral tan(x) sec^3(x) , dx

Passo 3

Agora, vamos focar na integral u = sec(x) . Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição. Vamos escolher uma substituição que simplifique a integral.
Vamos definir:
du = sec(x) tan(x) , dx
Então, precisamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 4

Observando a nossa integral, temos tan(x) sec^3(x) = tan(x) sec^2(x) cdot sec(x) . Podemos reescrever tan(x) sec^3(x) , dx = sec^2(x) cdot du como . Então:
Agora, lembrando que , podemos reorganizar a expressão para usar essa substituição:

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
3 integral tan(x) sec^3(x) , dx = 3 integral sec^2(x) cdot du
Sabemos que 3 integral u^2 , du porque . Então:

Passo 6

Agora, vamos integrar 3 integral u^2 , du = 3 ( u^33 ) + C = u^3 + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos u^3 + C = sec^3(x) + C de volta por :

Resposta

integral 3 tan(x) sec^3(x) , dx = sec^3(x) + C

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