Para cada um dos itens abaixo, calcule a integral. integral 31+4 x^2 d x.

Passo 1

Então, a gente precisa calcular a integral integral 31 + 4x^2 , dx. Vamos usar conhecimentos de cálculo, mais especificamente de integrais de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar da fórmula da integral da função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração: 1 + 4x^2. Podemos reescrever isso como 1 + (2x)^2. Isso é importante porque se ajusta à forma da fórmula da arco-tangente que vamos usar.

Passo 3

A fórmula que vamos utilizar é:
integral 11 + u^2 , du = arctan(u) + C
Aqui, u é uma substituição que vamos fazer para simplificar a integral.

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja u = 2x, então:
du = 2 , dx ou dx = du2
Substituindo na integral original:
integral 31 + (2x)^2 , dx = integral 31 + u^2 cdot du2 = 32 integral 11 + u^2 , du

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da arco-tangente que mencionamos:
32 integral 11 + u^2 , du = 32 arctan(u) + C
Substituindo u = 2x de volta na expressão:
32 arctan(2x) + C

Resposta

A integral é 32 arctan(2x) + C.

Exercícios relacionados