Para cada um dos itens abaixo, calcule a integral.
Passo 1
Beleza! A gente vai calcular a integral
. Esse exercício envolve cálculo de integrais que têm raízes quadradas no denominador. Para resolver, vamos precisar saber um pouco sobre integrais envolvendo expressões do tipo
e como fazer substituições para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Temos
. Para deixar isso parecido com a forma padrão
, vamos fatorar o 4 dentro da raiz:
Agora, fica mais claro que
e
está multiplicado por 2.
Passo 3
Sabemos que a integral de
em relação a
é
, onde
é a constante de integração. No nosso caso, temos
, então vamos fazer uma substituição para facilitar.
Vamos definir:
Passo 4
Agora, substituímos
na integral original:
Essa integral é ainda mais simples e segue a forma padrão que mencionamos.
Passo 5
Aplicando a fórmula da integral, temos:
Agora, substituímos de volta
:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.
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