Para cada um dos itens abaixo, calcule a integral. integral 3raiz1-4 x^2 d x

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular a integral . Esse exercício envolve cálculo de integrais que têm raízes quadradas no denominador. Para resolver, vamos precisar saber um pouco sobre integrais envolvendo expressões do tipo e como fazer substituições para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Temos raiz1 - 4x^2 = raiz1 - (2x)^2 . Para deixar isso parecido com a forma padrão , vamos fatorar o 4 dentro da raiz:
Agora, fica mais claro que e está multiplicado por 2.

Passo 3

Sabemos que a integral de u = 2x então du = 2 dx Rightarrow dx = du2 em relação a é , onde é a constante de integração. No nosso caso, temos , então vamos fazer uma substituição para facilitar.
Vamos definir:
ã

Passo 4

Agora, substituímos integral 3raiz1 - u^2 cdot du2 = 32 integral 1raiz1 - u^2 du na integral original:
Essa integral é ainda mais simples e segue a forma padrão que mencionamos.

Passo 5

Aplicando a fórmula da integral, temos:
32 arcsin(u) + C
Agora, substituímos de volta 32 arcsin(2x) + C :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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