Para cada um dos itens abaixo, calcule a integral. integral cos ^3(x / 2) sen(x / 2) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral .
Matéria envolvida: Integração envolvendo funções trigonométricas.
O que vamos precisar: Técnicas de substituição (também conhecida como troca de variável) para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = cos(x2)
Por que essa substituição? Porque temos um termo multiplicado por , e ao escolher como uma função de , conseguiremos expressar todo o integrando em termos de .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = -12 sin(x2) em relação a :
Isso porque a derivada de é .

Passo 4

Vamos rearranjar a expressão para isolar sin(x2) dx = -2 , du :
Por que fazemos isso? Queremos substituir todos os termos da integral original em termos de e .

Passo 5

Substituindo integral cos^3(x2) sin(x2) dx = integral u^3 cdot (-2 , du) = -2 integral u^3 du e na integral original:

Passo 6

Agora, vamos integrar -2 integral u^3 du = -2 cdot u^44 + C = -u^42 + C :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, vamos substituir -u^42 + C = -(cos(x2))^42 + C de volta para a expressão original em termos de :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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