Para cada um dos itens abaixo, calcule a integral. integral e^xe^x+e^-x d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de . Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar substituição, que é uma técnica de integração que facilita a resolução de integrais complexas transformando-as em formas mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar nosso trabalho. Observamos que:
e^xe^x + e^-x = e^xe^x + 1e^x = e^xe^2x + 1e^x = e^2xe^2x + 1
Então, a integral fica:
integral e^2xe^2x + 1 , dx

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar ainda mais. Vamos definir uma nova variável u = e^2x + 1 igual ao denominador da fração dentro da integral:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada de dudx = 2e^2x Rightarrow du = 2e^2x , dx em relação a e^2x , dx = du2 para encontrar :
Isso significa que:

Passo 5

Agora, substituímos integral e^2xe^2x + 1 , dx = integral du2u = 12 integral 1u , du e na integral original:

Passo 6

A integral de 12 integral 1u , du = 12 ln|u| + C em relação a é o logaritmo natural de , então temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, lembrando que 12 ln|e^2x + 1| + C , substituímos de volta para obter a solução em termos de :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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