Em cada um dos itens abaixo, calcule , onde é um vetor unitário normal exterior a .
dada por .

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo vetorial aqui. A tarefa é calcular a integral de superfície , onde e é a superfície de uma esfera dada pela equação . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial como integral de superfície, produto escalar e o teorema da divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que significa . É o vetor normal unitário que aponta para fora da superfície . No caso da esfera , o vetor normal em cada ponto é simplesmente o vetor posição dividido pelo seu comprimento, que no caso da esfera é . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar . Substituindo e , temos:
Como na superfície da esfera, substituindo:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral de superfície:
A integral representa a área da superfície . Como é uma esfera de raio , a área da superfície é:

Resposta

Substituindo na integral, temos:
Então, o valor final da integral de superfície é .

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