Em cada um dos itens abaixo, calcule integral duplaS F cdot n d S, onde n é um vetor unitário normal exterior a S.
F=x i+y j+z k ; S dada por x^2+y^2+z^2=a^2.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo vetorial aqui. A tarefa é calcular a integral de superfície , onde e é a superfície de uma esfera dada pela equação . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial como integral de superfície, produto escalar e o teorema da divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que significa n = r|r| = x i + y j + z ka . É o vetor normal unitário que aponta para fora da superfície . No caso da esfera , o vetor normal em cada ponto é simplesmente o vetor posição dividido pelo seu comprimento, que no caso da esfera é . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot n = (x i + y j + z k) cdot ( x i + y j + z ka ) = x^2 + y^2 + z^2a . Substituindo F cdot n = a^2a = a e , temos:
Como na superfície da esfera, substituindo:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral de superfície:
integral duplaS F cdot n , dS = integral duplaS a , dS = a integral duplaS dS
A integral integral duplaS dS = 4pi a^2 representa a área da superfície . Como é uma esfera de raio , a área da superfície é:

Resposta

Substituindo na integral, temos:
integral duplaS F cdot n , dS = a times 4pi a^2 = 4pi a^3
Então, o valor final da integral de superfície é .

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