Em cada um dos itens abaixo, calcule
, onde
é um vetor unitário normal exterior a
.
dada por
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de cálculo vetorial aqui. A tarefa é calcular a integral de superfície
, onde
e
é a superfície de uma esfera dada pela equação
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial como integral de superfície, produto escalar e o teorema da divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que significa
. É o vetor normal unitário que aponta para fora da superfície
. No caso da esfera
, o vetor normal em cada ponto é simplesmente o vetor posição
dividido pelo seu comprimento, que no caso da esfera é
. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar
. Substituindo
e
, temos:
Como
na superfície da esfera, substituindo:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral de superfície:
A integral
representa a área da superfície
. Como
é uma esfera de raio
, a área da superfície é:
Resposta
Substituindo na integral, temos:
Então, o valor final da integral de superfície é
.