Seja Q o paralelepípedo retângulo limitado pelos planos coordenados e pelos gráficos de x=1, y=2 e z=3. Se F(x, y, z) = 2 e^(-x) z i + x y^2 j + z^3 k, calcule o fluxo de F sobre a superfície S de Q.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o fluxo do campo vetorial sobre a superfície de um paralelepípedo retângulo . A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, mais especificamente o conceito de fluxo de um campo vetorial e o Teorema da Divergência, que vai facilitar nossa vida nessa resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o fluxo. O fluxo de através de basicamente mede “quanto” do campo está passando pela superfície . Para calcular isso, podemos usar o Teorema da Divergência, que diz que o fluxo através de é igual à integral da divergência de sobre todo o volume .

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
Aplicando isso ao nosso :
Então, a divergência fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar a divergência sobre o volume . Como é limitado por de 0 a 1, de 0 a 2 e de 0 a 3, a integral tripla fica assim:
Vamos resolver essa integral passo a passo:
  1. Integração em :
Somando tudo:
  1. Integração em :
  1. Integração em :

Resposta

O fluxo de sobre a superfície de é:
Portanto, o fluxo é aproximadamente 48,62.

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