Seja o paralelepípedo retângulo limitado pelos planos coordenados e pelos gráficos de . Se , calcule o fluxo de sobre a superfície de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o fluxo do campo vetorial sobre a superfície de um paralelepípedo retângulo . A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, mais especificamente o conceito de fluxo de um campo vetorial e o Teorema da Divergência, que vai facilitar nossa vida nessa resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o fluxo. O fluxo de através de basicamente mede “quanto” do campo está passando pela superfície . Para calcular isso, podemos usar o Teorema da Divergência, que diz que o fluxo através de é igual à integral da divergência de sobre todo o volume .

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
Aplicando isso ao nosso :
Então, a divergência fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar a divergência sobre o volume . Como é limitado por de 0 a 1, de 0 a 2 e de 0 a 3, a integral tripla fica assim:
Vamos resolver essa integral passo a passo:
  1. Integração em :
Somando tudo:
  1. Integração em :
  1. Integração em :

Resposta

O fluxo de sobre a superfície de é:
Portanto, o fluxo é aproximadamente 48,62.

Exercícios relacionados

Em cada um dos problemas a seguir: 1) procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado Encontre a relação de recorrência; 3) Encontre os 5 primeiros termos de cada uma das soluções; 4) Se possível encontre a o termo geral de cada solução.
(g) .
Se e , determine .
Um casal de coelhos adultos gera mensalemente um casal de coelhos, que se tornam dultos dois meses após o nascimento. Suponha os coelhos imortais. Começando no mês 0 com um casal adulto(que terá prole apenas no mês 1):
a) quantos casais serão gerados no mês 5 ?
b) quantos casais serão gerados no mês ?
Em cada um dos itens abaixo, calcule , onde é um vetor unitário normal exterior a .
dada por .