Seja o paralelepípedo retângulo limitado pelos planos coordenados e pelos gráficos de . Se , calcule o fluxo de sobre a superfície de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o fluxo do campo vetorial sobre a superfície de um paralelepípedo retângulo . A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, mais especificamente o conceito de fluxo de um campo vetorial e o Teorema da Divergência, que vai facilitar nossa vida nessa resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o fluxo. O fluxo de através de basicamente mede “quanto” do campo está passando pela superfície . Para calcular isso, podemos usar o Teorema da Divergência, que diz que o fluxo através de é igual à integral da divergência de sobre todo o volume .
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
Aplicando isso ao nosso :
Então, a divergência fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar a divergência sobre o volume . Como é limitado por de 0 a 1, de 0 a 2 e de 0 a 3, a integral tripla fica assim: