Um casal de coelhos adultos gera mensalemente um casal de coelhos, que se tornam dultos dois meses após o nascimento. Suponha os coelhos imortais. Começando no mês 0 com um casal adulto(que terá prole apenas no mês 1):
a) quantos casais serão gerados no mês 5 ?
b) quantos casais serão gerados no mês
?
a) quantos casais serão gerados no mês 5 ?
b) quantos casais serão gerados no mês
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o crescimento de uma população de coelhos ao longo dos meses. Estamos lidando com conceitos de recorrência e sequência de Fibonacci, que são parte da matemática discreta. Para resolver, vamos acompanhar mês a mês quantos casais de coelhos existem, considerando que cada casal adulto gera um novo casal a cada mês e que os novos casais levam dois meses para se tornarem adultos. Precisamos calcular o número de casais no mês 5 e depois generalizar para qualquer mês
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como os coelhos se reproduzem:
- Mês 0: Começamos com 1 casal adulto.
- Mês 1: Esse casal adulto gera 1 novo casal, mas ele ainda não está adulto.
- Mês 2: O casal adulto gera outro novo casal. O casal gerado no mês 1 agora se torna adulto.
- E assim por diante…
Vamos criar uma tabela para facilitar:
Mês | Casais Adultos | Novos Casais | Total de Casais |
---|---|---|---|
0 | 1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 2 |
2 | 1 | 1 | 2 |
3 | 2 | 1 | 3 |
4 | 2 | 2 | 4 |
5 | 3 | 2 | 5 |
Passo 3
Agora, vamos entender a lógica por trás dessa tabela. Em cada mês, os casais adultos existentes geram novos casais. Porém, os novos casais levam dois meses para se tornarem adultos e poderem gerar mais casais. Isso cria uma sequência onde cada termo é a soma dos dois anteriores, semelhante à Sequência de Fibonacci.
Matematicamente, podemos expressar isso assim:
Onde:
-
é o número de casais no mês . -
(no mês 0, temos 1 casal). -
(no mês 1, ainda temos apenas o casal original).
Passo 4
Para resolver a parte a) da questão, que pede o número de casais no mês 5, vamos utilizar a tabela que construímos:
No mês 5, temos 5 casais.
Passo 5
Para resolver a parte b), que solicita o número de casais no mês
, podemos usar a fórmula da Sequência de Fibonacci que mencionamos:
Isso significa que para encontrar o número de casais no mês
, somamos o número de casais no mês anterior
com o número de casais dois meses antes
.
Resposta
a) No mês 5, serão gerados 5 casais.\
b) No mês
, o número de casais é dado pela
-ésima termo da Sequência de Fibonacci, calculado por
.
Exercícios relacionados
Seja
o paralelepípedo retângulo limitado pelos planos coordenados e pelos gráficos de
. Se
, calcule o fluxo de
sobre a superfície
de
.
Em cada um dos problemas a seguir: 1) procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
Encontre a relação de recorrência; 3) Encontre os 5 primeiros termos de cada uma das soluções; 4) Se possível encontre a o termo geral de cada solução.
(g) .
(g)
Em cada um dos itens abaixo, calcule
, onde
é um vetor unitário normal exterior a
.
dada por
.
Em cada um dos itens abaixo, calcule
, onde
é um vetor unitário normal exterior a
.
;
a superfície da região
.