Um casal de coelhos adultos gera mensalemente um casal de coelhos, que se tornam dultos dois meses após o nascimento. Suponha os coelhos imortais. Começando no mês 0 com um casal adulto(que terá prole apenas no mês 1):
a) quantos casais serão gerados no mês 5 ?
b) quantos casais serão gerados no mês ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o crescimento de uma população de coelhos ao longo dos meses. Estamos lidando com conceitos de recorrência e sequência de Fibonacci, que são parte da matemática discreta. Para resolver, vamos acompanhar mês a mês quantos casais de coelhos existem, considerando que cada casal adulto gera um novo casal a cada mês e que os novos casais levam dois meses para se tornarem adultos. Precisamos calcular o número de casais no mês 5 e depois generalizar para qualquer mês .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como os coelhos se reproduzem:
  • Mês 0: Começamos com 1 casal adulto.
  • Mês 1: Esse casal adulto gera 1 novo casal, mas ele ainda não está adulto.
  • Mês 2: O casal adulto gera outro novo casal. O casal gerado no mês 1 agora se torna adulto.
  • E assim por diante…
Vamos criar uma tabela para facilitar:
Mês Casais Adultos Novos Casais Total de Casais
0 1 0 1
1 1 1 2
2 1 1 2
3 2 1 3
4 2 2 4
5 3 2 5

Passo 3

Agora, vamos entender a lógica por trás dessa tabela. Em cada mês, os casais adultos existentes geram novos casais. Porém, os novos casais levam dois meses para se tornarem adultos e poderem gerar mais casais. Isso cria uma sequência onde cada termo é a soma dos dois anteriores, semelhante à Sequência de Fibonacci.
Matematicamente, podemos expressar isso assim:
Onde:
  • é o número de casais no mês .
  • (no mês 0, temos 1 casal).
  • (no mês 1, ainda temos apenas o casal original).

Passo 4

Para resolver a parte a) da questão, que pede o número de casais no mês 5, vamos utilizar a tabela que construímos:
No mês 5, temos 5 casais.

Passo 5

Para resolver a parte b), que solicita o número de casais no mês , podemos usar a fórmula da Sequência de Fibonacci que mencionamos:
Isso significa que para encontrar o número de casais no mês , somamos o número de casais no mês anterior com o número de casais dois meses antes .

Resposta

a) No mês 5, serão gerados 5 casais.\
b) No mês , o número de casais é dado pela -ésima termo da Sequência de Fibonacci, calculado por .

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