Em cada um dos itens abaixo, calcule integral duplaS F cdot n d S, onde n é um vetor unitário normal exterior a S.
F=(x+z) i+(y+z) j+(x+y) k; S a superfície da região Q=(x, y, z) in R^3: 0 <= y^2+z^2 <= 1,0 <= x <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de superfície de um campo vetorial F através de uma superfície S. A gente vai usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície com uma integral de volume. Precisamos entender o que é o Teorema da Divergência e como aplicá-lo aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial dado:
F = (x + z) i + (y + z) j + (x + y) k
E a região Q está definida por:
0 <= y^2 + z^2 <= 1 e 0 <= x <= 2
Isso descreve um cilindro com raio 1, estendendo-se do x=0 até x=2.

Passo 3

Vamos aplicar o Teorema da Divergência, que diz:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaQ nabla cdot F , dV
Então, precisamos calcular a divergência de F.

Passo 4

Calculando a divergência de F:
nabla cdot F = partialpartial x(x + z) + partialpartial y(y + z) + partialpartial z(x + y)
= 1 + 1 + 0 = 2
A divergência é constante e igual a 2.

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de volume:
integral triplaQ 2 , dV = 2 times volume de Q
Como Q é um cilindro com raio 1 e altura 2, o volume é:
V = pi r^2 h = pi times 1^2 times 2 = 2pi
Então,
2 times 2pi = 4pi

Resposta

A integral de superfície integral duplaS F cdot n , dS vale 4pi.

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