Em cada um dos itens abaixo, calcule
, onde
é um vetor unitário normal exterior a
.
;
a superfície da região
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de superfície de um campo vetorial
através de uma superfície
. A gente vai usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície com uma integral de volume. Precisamos entender o que é o Teorema da Divergência e como aplicá-lo aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo vetorial dado:
E a região
está definida por:
Isso descreve um cilindro com raio 1, estendendo-se do
até
.
Passo 3
Vamos aplicar o Teorema da Divergência, que diz:
Então, precisamos calcular a divergência de
.
Passo 4
Calculando a divergência de
:
A divergência é constante e igual a 2.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de volume:
Como
é um cilindro com raio 1 e altura 2, o volume é:
Então,
Resposta
A integral de superfície
vale
.