Em cada um dos itens abaixo, calcule integral duplaS F cdot n d S, onde n é um vetor unitário normal exterior a S.
F=(x^2+sen(y z) i+(y-x e^-z) j+z^2 k ; S a superfície dada por x^2+y^2=4, x+z=2, z=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para calcular a integral de superfície de um campo vetorial F sobre uma superfície S. Especificamente, precisamos encontrar:
integral duplaS F cdot n , dS
Onde:
  • n é um vetor unitário normal exterior à superfície S.
  • O campo vetorial F é dado por:
F = ( x^2 + sin(y z) ) i + ( y - x e^-z ) j + z^2 k
  • A superfície S é definida pelas equações x^2 + y^2 = 4, x + z = 2 e z = 0.
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Gauss (Divergência), que nos ajuda a transformar a integral de superfície em uma integral de volume, o que muitas vezes simplifica os cálculos. Além disso, vamos precisar entender como descrever a superfície S e seus limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície S. Ela é definida por três equações:
  1. x^2 + y^2 = 4: Isso descreve um cilindro circular de raio 2 ao longo do eixo z.
  2. x + z = 2: Esta é um plano inclinado.
  3. z = 0: Este é o plano horizontal que representa a base do nosso sólido.
Então, a superfície S é a parte do cilindro x^2 + y^2 = 4 que está entre o plano z = 0 e o plano inclinado x + z = 2. Essa região forma um sólido chamado de cilindro capado por um plano inclinado.

Passo 3

Como vamos usar o Teorema de Gauss, precisamos calcular a divergência do campo vetorial F. A divergência, denotada por nabla cdot F, é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Vamos calcular cada termo:
  1. Fx = x^2 + sin(y z)
partial Fxpartial x = 2x
  1. Fy = y - x e^-z
partial Fypartial y = 1
  1. Fz = z^2
partial Fzpartial z = 2z
Então, a divergência é:
nabla cdot F = 2x + 1 + 2z

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema de Gauss, que diz que a integral de superfície do campo vetorial F sobre a superfície fechada S é igual à integral de volume da divergência de F sobre o volume V limitado por S:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Então, precisamos calcular:
integral triplaV (2x + 1 + 2z) , dV

Passo 5

Para calcular a integral de volume, é conveniente usar coordenadas cilíndricas, já que a base do nosso cilindro é circular. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
  • x = r cos theta
  • y = r sin theta
  • z = z
  • O elemento de volume é dV = r , dr , dtheta , dz
Vamos determinar os limites de integração:
  • r varia de 0 a 2 (raio do cilindro).
  • theta varia de 0 a 2pi (uma volta completa ao redor do cilindro).
  • Para z, observamos que ele varia do plano z = 0 até o plano x + z = 2. Em coordenadas cilíndricas, isso é z = 2 - x = 2 - r cos theta.

Passo 6

Agora, substituímos na integral:
integral triplaV (2x + 1 + 2z) , dV = integral0^2pi integral0^2 integral0^2 - r cos theta (2r cos theta + 1 + 2z) , r , dz , dr , dtheta
Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em relação a z, depois r, e por último theta.

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a z:
integral0^2 - r cos theta (2r cos theta + 1 + 2z) , dz
A antiderivada é:
2r cos theta cdot z + z + z^2 |0^2 - r cos theta
Substituindo os limites:
2r cos theta (2 - r cos theta) + (2 - r cos theta) + (2 - r cos theta)^2
Simplificando:
4r cos theta - 2r^2 cos^2 theta + 2 - r cos theta + 4 - 4r cos theta + r^2 cos^2 theta = 6 - r cos theta - r^2 cos^2 theta

Passo 8

Agora, substituímos de volta na integral:
integral0^2pi integral0^2 (6 - r cos theta - r^2 cos^2 theta) cdot r , dr , dtheta
Distribuindo o r:
integral0^2pi integral0^2 (6r - r^2 cos theta - r^3 cos^2 theta) , dr , dtheta

Passo 9

Vamos integrar em relação a r:
  1. integral0^2 6r , dr = 6 cdot r^22 |0^2 = 6 cdot 2 = 12
  2. integral0^2 -r^2 cos theta , dr = -cos theta cdot r^33 |0^2 = -cos theta cdot 83 = -83 cos theta
  3. integral0^2 -r^3 cos^2 theta , dr = -cos^2 theta cdot r^44 |0^2 = -cos^2 theta cdot 4 = -4 cos^2 theta
Então, a integral fica:
integral0^2pi (12 - 83 cos theta - 4 cos^2 theta ) dtheta

Passo 10

Agora, integramos em relação a theta:
  1. integral0^2pi 12 , dtheta = 12 cdot 2pi = 24pi
  2. integral0^2pi -83 cos theta , dtheta = -83 cdot 0 = 0 (porque o integral de cos theta de 0 a 2pi é zero)
  3. integral0^2pi -4 cos^2 theta , dtheta. Sabemos que cos^2 theta = 1 + cos 2theta2, então:
-4 integral0^2pi 1 + cos 2theta2 , dtheta = -2 integral0^2pi (1 + cos 2theta) , dtheta = -2 [ theta + sin 2theta2 ]0^2pi = -2 (2pi - 0) = -4pi

Resposta

Somando todos os termos, temos:
24pi + 0 - 4pi = 20pi
Portanto, a integral de superfície é igual a 20pi.

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