Em cada um dos itens abaixo, calcule , onde é um vetor unitário normal exterior a . a superfície dada por .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para calcular a integral de superfície de um campo vetorial sobre uma superfície . Especificamente, precisamos encontrar:
Onde:
é um vetor unitário normal exterior à superfície .
O campo vetorial é dado por:
A superfície é definida pelas equações , e .
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Gauss (Divergência), que nos ajuda a transformar a integral de superfície em uma integral de volume, o que muitas vezes simplifica os cálculos. Além disso, vamos precisar entender como descrever a superfície e seus limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície . Ela é definida por três equações:
: Isso descreve um cilindro circular de raio 2 ao longo do eixo .
: Esta é um plano inclinado.
: Este é o plano horizontal que representa a base do nosso sólido.
Então, a superfície é a parte do cilindro que está entre o plano e o plano inclinado . Essa região forma um sólido chamado de cilindro capado por um plano inclinado.
Passo 3
Como vamos usar o Teorema de Gauss, precisamos calcular a divergência do campo vetorial . A divergência, denotada por , é dada por:
Vamos calcular cada termo:
Então, a divergência é:
Passo 4
Agora, aplicamos o Teorema de Gauss, que diz que a integral de superfície do campo vetorial sobre a superfície fechada é igual à integral de volume da divergência de sobre o volume limitado por :
Então, precisamos calcular:
Passo 5
Para calcular a integral de volume, é conveniente usar coordenadas cilíndricas, já que a base do nosso cilindro é circular. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
O elemento de volume é
Vamos determinar os limites de integração:
varia de 0 a 2 (raio do cilindro).
varia de 0 a (uma volta completa ao redor do cilindro).
Para , observamos que ele varia do plano até o plano . Em coordenadas cilíndricas, isso é .
Passo 6
Agora, substituímos na integral:
Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em relação a , depois , e por último .
Passo 7
Primeiro, integramos em relação a :
A antiderivada é:
Substituindo os limites:
2r cos theta (2 - r cos theta) + (2 - r cos theta) + (2 - r cos theta)^2
Simplificando:
4r cos theta - 2r^2 cos^2 theta + 2 - r cos theta + 4 - 4r cos theta + r^2 cos^2 theta = 6 - r cos theta - r^2 cos^2 theta
Passo 8
Agora, substituímos de volta na integral:
integral0^2pi integral0^2 (6 - r cos theta - r^2 cos^2 theta) cdot r , dr , dtheta
Distribuindo o r:
integral0^2pi integral0^2 (6r - r^2 cos theta - r^3 cos^2 theta) , dr , dtheta