Resolva as seguintes equações, usando a correspondente solução particular:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial que envolve a derivada de
,
e termos exponenciais. O objetivo é resolver essa equação usando uma solução particular fornecida, que é
. Para isso, vamos aplicar conceitos de Equações Diferenciais Ordinárias e Soluções Particulares.
Passo 2
Vamos começar verificando se a solução particular
realmente satisfaz a equação dada. Primeiramente, calculamos a derivada de
:
Agora, substituímos
e
na equação original:
Simplificando cada termo:
Vemos que ambos os lados da equação ficam iguais, confirmando que
é realmente uma solução particular da equação.
Passo 3
Agora, para encontrar a solução geral da equação diferencial, precisamos considerar a solução da equação homogênea associada. Reescrevemos a equação original:
Podemos reorganizar para isolar
:
Passo 4
Vamos usar uma técnica de substituição para simplificar a equação. Como já temos uma solução particular, podemos assumir que a solução geral
é a soma da solução particular mais uma função
:
Dessa forma, a derivada de
fica:
Passo 5
Substituímos
e
na equação original:
Vamos simplificar cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando os termos:
Cancelando termos iguais dos dois lados:
Passo 6
Temos agora uma equação para
:
Podemos reescrever essa equação para facilitar a resolução:
Essa é uma equação diferencial separável, que permite separar as variáveis
e
.
Passo 7
Vamos separar as variáveis:
Agora, integramos ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Resolvendo para
:
Passo 9
Finalmente, lembrando que
, substituímos
:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Encontre o domínio
de
que define uma curva
e as equações paramétricas de
.
Escreva a equação vetorial da curva de intersecção das superfícies
Em cada um dos itens abaixo, calcule
, onde
é um vetor unitário normal exterior a
.
a superfície dada por
.
Calcule a solução geral das equações diferenciais dadas:
Res.: