Resolva as seguintes equações, usando a correspondente solução particular:
y'(x) e^(-x) + y(x)^2 - 2 y(x) e^(x) = 1 - e^(2x), y_part(x) = e^(x).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial que envolve a derivada de , e termos exponenciais. O objetivo é resolver essa equação usando uma solução particular fornecida, que é . Para isso, vamos aplicar conceitos de Equações Diferenciais Ordinárias e Soluções Particulares.

Passo 2

Vamos começar verificando se a solução particular realmente satisfaz a equação dada. Primeiramente, calculamos a derivada de :
Agora, substituímos e na equação original:
Simplificando cada termo:
Vemos que ambos os lados da equação ficam iguais, confirmando que é realmente uma solução particular da equação.

Passo 3

Agora, para encontrar a solução geral da equação diferencial, precisamos considerar a solução da equação homogênea associada. Reescrevemos a equação original:
Podemos reorganizar para isolar :

Passo 4

Vamos usar uma técnica de substituição para simplificar a equação. Como já temos uma solução particular, podemos assumir que a solução geral é a soma da solução particular mais uma função :
Dessa forma, a derivada de fica:

Passo 5

Substituímos e na equação original:
Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando os termos:
Cancelando termos iguais dos dois lados:

Passo 6

Temos agora uma equação para :
Podemos reescrever essa equação para facilitar a resolução:
Essa é uma equação diferencial separável, que permite separar as variáveis e .

Passo 7

Vamos separar as variáveis:
Agora, integramos ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Resolvendo para :

Passo 9

Finalmente, lembrando que , substituímos :

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde é a constante de integração.

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