Calcule a solução geral das equações diferenciais dadas:
Res.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Estamos lidando com equações diferenciais de segunda ordem e do tipo Cauchy-Euler. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas equações funcionam e aplicar o método específico para elas.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a equação dada é uma equação diferencial linear de Cauchy-Euler. Esse tipo de equação tem a forma geral:
onde
e
são constantes. Para resolver, assumimos uma solução do tipo
, onde
é um número que vamos determinar.
Passo 3
Vamos substituir
na equação. Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando cada termo:
Passo 4
Agora, fatoramos
da expressão:
Como
nunca é zero para
, podemos igualar a parte entre colchetes a zero:
Simplificando:
Então, a equação característica é:
Passo 5
Resolvendo a equação característica
:
Aqui, encontramos raízes complexas
, onde
e
.
Passo 6
Quando temos raízes complexas
, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo
e
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo, calcule
, onde
é um vetor unitário normal exterior a
.
a superfície dada por
.
Resolva as seguintes equações, usando a correspondente solução particular:
.
Calcule a solução geral das equações diferenciais dadas:
Res.: