Calcule a solução geral das equações diferenciais dadas:
Res.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos pede para encontrar a solução geral da equação
. Vamos precisar usar o conteúdo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis, especificamente o método para equações de Euler-Cauchy. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Essa é uma equação de Euler-Cauchy, onde assumimos soluções do tipo
.
Passo 3
Calculamos as derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação homogênea:
Simplificando:
Passo 5
Dividindo todos os termos por
:
Como isso deve ser válido para todo
, igualamos os coeficientes:
Resolvendo, obtemos
e
.
Passo 6
Então, as soluções da equação homogênea são:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 7
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é
, tentamos uma solução do tipo
.
Passo 8
Calculamos as derivadas de
:
Passo 9
Substituímos na equação:
Simplificando:
Passo 10
Igualamos os coeficientes:
Então, a solução particular é
.
Passo 11
Mas, percebemos que
não está na solução homogênea, então nossa solução particular está correta. Porém, para termos uma solução mais completa, podemos ajustar usando logaritmos se necessário. No entanto, seguindo o exercício, mantemos:
Resposta
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Calcule a solução geral das equações diferenciais dadas:
Res.:
Em cada um dos itens abaixo, calcule
, onde
é um vetor unitário normal exterior a
.
a superfície dada por
.
Em cada um dos itens abaixo, calcule
, onde
é um vetor unitário normal exterior a
.
a superfície da região
.