Prove a seguinte identidade
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar uma identidade envolvendo derivadas de produtos de vetores. Mais especificamente, queremos mostrar que a derivada do produto escalar de dois vetores
e
em relação a
é igual à soma do produto da derivada de
com
mais
com a derivada de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar produtos de funções vetoriais e aplicar regras de cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
onde
e
são as componentes dos vetores
e
respectivamente.
Passo 3
Agora, queremos derivar esse produto escalar em relação a
. Vamos derivar cada termo individualmente usando a regra do produto para derivadas, que diz que
.
Passo 4
Aplicando a regra do produto a cada termo do produto escalar:
Passo 5
Agora, podemos reescrever essa expressão agrupando os termos que contêm
e
:
Resposta
Portanto, provamos que:
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Calcule a solução geral das equações diferenciais dadas:
Res.:
Calcule a solução geral das equações diferenciais dadas:
Res.:
Em cada um dos itens abaixo, calcule
, onde
é um vetor unitário normal exterior a
.
a superfície da região
.
Calcule a solução geral das equações diferenciais dadas:
Res.: