circledast Prove a seguinte identidade
d/dt [u(t) * v(t)] = u'(t) * v(t) + u(t) * v'(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar uma identidade envolvendo derivadas de produtos de vetores. Mais especificamente, queremos mostrar que a derivada do produto escalar de dois vetores e em relação a é igual à soma do produto da derivada de com mais com a derivada de . Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar produtos de funções vetoriais e aplicar regras de cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar de dois vetores e é dado por:
onde e são as componentes dos vetores e respectivamente.

Passo 3

Agora, queremos derivar esse produto escalar em relação a . Vamos derivar cada termo individualmente usando a regra do produto para derivadas, que diz que .

Passo 4

Aplicando a regra do produto a cada termo do produto escalar:

Passo 5

Agora, podemos reescrever essa expressão agrupando os termos que contêm e :

Resposta

Portanto, provamos que:

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