Em cada um dos itens abaixo, calcule
, onde
é um vetor unitário normal exterior a
.
a superfície da região limitada pelos planos
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície
, onde e
é a superfície delimitada pelos planos
,
e
.
Vamos usar o Teorema da Divergência para resolver isso. Esse teorema relaciona a integral de superfície com uma integral tripla sobre o volume limitado por essa superfície. Para aplicar, precisamos calcular a divergência de
e depois integrar isso sobre o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a divergência de
, que é dada por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Então, a divergência fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema da Divergência, que nos diz:
Onde
é o volume limitado pela superfície
. No nosso caso,
é um cubo onde
,
e
variam de
a
.
Passo 4
Vamos calcular a integral tripla da divergência sobre o cubo:
Podemos separar essa integral em três partes:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 5
Primeira Integral:
Integramos primeiro em
:
Agora, multiplicamos por
e integramos em
de
a
:
Segunda Integral:
Aqui,
e
são funções ímpares. Quando integramos um produto de funções ímpares sobre um intervalo simétrico como
, o resultado é zero:
Passo 6
Terceira Integral:
Essa é a mais fácil! É simplesmente
vezes o volume do cubo:
Resposta
Portanto, o valor da integral
é 24.