Em cada um dos itens abaixo, calcule integral duplaS F cdot n d S, onde n é um vetor unitário normal exterior a S.
F=y sen x i+y^2 z j+(x+3 z) k ; S a superfície da região limitada pelos planos x= pm 1, y= pm 1, z pm 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície , onde e é a superfície delimitada pelos planos , e .
Vamos usar o Teorema da Divergência para resolver isso. Esse teorema relaciona a integral de superfície com uma integral tripla sobre o volume limitado por essa superfície. Para aplicar, precisamos calcular a divergência de e depois integrar isso sobre o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a divergência de nabla cdot F = partialpartial x(y sen x) + partialpartial y(y^2 z) + partialpartial z(x + 3 z) , que é dada por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
  • nabla cdot F = y cos x + 2 y z + 3
Então, a divergência fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema da Divergência, que nos diz:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Onde é o volume limitado pela superfície . No nosso caso, é um cubo onde , e variam de a .

Passo 4

Vamos calcular a integral tripla da divergência sobre o cubo:
integral triplaV (y cos x + 2 y z + 3) , dV
Podemos separar essa integral em três partes:
integral triplaV y cos x , dV + integral triplaV 2 y z , dV + integral triplaV 3 , dV
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 5

Primeira Integral: integral-1^1 cos x , dx = sen x |-1^1 = sen(1) - sen(-1) = 2 sen(1)
Integramos primeiro em 2 sen(1) integral-1^1 y , dy = 2 sen(1) cdot 0 = 0 :
Agora, multiplicamos por 2 integral-1^1 integral-1^1 y z , dy , dz = 0 e integramos em de a :
Segunda Integral:
Aqui, e são funções ímpares. Quando integramos um produto de funções ímpares sobre um intervalo simétrico como , o resultado é zero:

Passo 6

Terceira Integral: 3 times Volume = 3 times (2 times 2 times 2) = 3 times 8 = 24
Essa é a mais fácil! É simplesmente vezes o volume do cubo:

Resposta

Portanto, o valor da integral é 24.

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