Em cada um dos itens abaixo, calcule , onde é um vetor unitário normal exterior a .
a superfície da região limitada pelos planos .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície , onde e é a superfície delimitada pelos planos , e .
Vamos usar o Teorema da Divergência para resolver isso. Esse teorema relaciona a integral de superfície com uma integral tripla sobre o volume limitado por essa superfície. Para aplicar, precisamos calcular a divergência de e depois integrar isso sobre o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a divergência de , que é dada por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Então, a divergência fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema da Divergência, que nos diz:
Onde é o volume limitado pela superfície . No nosso caso, é um cubo onde , e variam de a .

Passo 4

Vamos calcular a integral tripla da divergência sobre o cubo:
Podemos separar essa integral em três partes:
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 5

Primeira Integral:
Integramos primeiro em :
Agora, multiplicamos por e integramos em de a :
Segunda Integral:
Aqui, e são funções ímpares. Quando integramos um produto de funções ímpares sobre um intervalo simétrico como , o resultado é zero:

Passo 6

Terceira Integral:
Essa é a mais fácil! É simplesmente vezes o volume do cubo:

Resposta

Portanto, o valor da integral é 24.

Exercícios relacionados

Em cada um dos problemas a seguir: 1) procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado Encontre a relação de recorrência; 3) Encontre os 5 primeiros termos de cada uma das soluções; 4) Se possível encontre a o termo geral de cada solução.
(d)
Quantos anagramas tem a palavra LIVRO que começa com a letra V?
Se e , determine .
Em cada um dos problemas a seguir: 1) procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado Encontre a relação de recorrência; 3) Encontre os 5 primeiros termos de cada uma das soluções; 4) Se possível encontre a o termo geral de cada solução.
(g) .