Em cada um dos itens abaixo, calcule
, onde
é um vetor unitário normal exterior a
.
a superfície da região limitada pelos planos
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície
, onde e
é a superfície delimitada pelos planos
,
e
.
Vamos usar o Teorema da Divergência para resolver isso. Esse teorema relaciona a integral de superfície com uma integral tripla sobre o volume limitado por essa superfície. Para aplicar, precisamos calcular a divergência de
e depois integrar isso sobre o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a divergência de
, que é dada por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Então, a divergência fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema da Divergência, que nos diz:
Onde
é o volume limitado pela superfície
. No nosso caso,
é um cubo onde
,
e
variam de
a
.
Passo 4
Vamos calcular a integral tripla da divergência sobre o cubo:
Podemos separar essa integral em três partes:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 5
Primeira Integral:
Integramos primeiro em
:
Agora, multiplicamos por
e integramos em
de
a
:
Segunda Integral:
Aqui,
e
são funções ímpares. Quando integramos um produto de funções ímpares sobre um intervalo simétrico como
, o resultado é zero:
Passo 6
Terceira Integral:
Essa é a mais fácil! É simplesmente
vezes o volume do cubo:
Resposta
Portanto, o valor da integral
é 24.
Exercícios relacionados
Em cada um dos problemas a seguir: 1) procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
Encontre a relação de recorrência; 3) Encontre os 5 primeiros termos de cada uma das soluções; 4) Se possível encontre a o termo geral de cada solução.
(d)
(d)
Quantos anagramas tem a palavra LIVRO que começa com a letra V?
Se
e
, determine
.
Em cada um dos problemas a seguir: 1) procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
Encontre a relação de recorrência; 3) Encontre os 5 primeiros termos de cada uma das soluções; 4) Se possível encontre a o termo geral de cada solução.
(g) .
(g)