Em cada um dos problemas a seguir: 1) procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
Encontre a relação de recorrência; 3) Encontre os 5 primeiros termos de cada uma das soluções; 4) Se possível encontre a o termo geral de cada solução.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando séries de potências em torno do ponto
. Isso envolve conteúdo de equações diferenciais e séries de potências. Para resolver, vamos precisar supor que a solução pode ser representada por uma série de potências centrada em 1, encontrar uma relação que liga os coeficientes dessa série, calcular os primeiros cinco termos e, se der, determinar uma fórmula geral para os termos.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Vamos também precisar calcular as primeiras e segundas derivadas de
:
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
e
na equação diferencial:
Simplificando, considerando
, distribuímos os termos:
Para simplificar a comparação dos coeficientes, ajustamos os índices das somas:
Passo 4
Agora, juntamos todas as somas em termos de
:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência
devem ser iguais a zero. Assim, obtemos a relação de recorrência:
Ou seja:
Passo 5
Agora, vamos calcular os cinco primeiros termos da solução. Primeiro, definimos
até
.
Para
:
Como
não existe e a equação não determina
, assumimos
. Então:
Para evitar divisão por zero, fixamos
(constante arbitrária) e consideramos
como livre.
Assumindo
, temos:
-
-
(constante arbitrária)
Para
:
Para
:
Para
:
Portanto, os cinco primeiros termos são:
Resposta
A solução da equação diferencial
em séries de potências centrada em
é dada por:
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.
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Em cada um dos itens abaixo, calcule
, onde
é um vetor unitário normal exterior a
.
a superfície da região limitada pelos planos
.
Se
e
, determine
.