Em cada um dos problemas a seguir: 1) procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado Encontre a relação de recorrência; 3) Encontre os 5 primeiros termos de cada uma das soluções; 4) Se possível encontre a o termo geral de cada solução.
(g) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
Vamos resolver isso usando séries de potências em torno do ponto . Para isso, a gente vai precisar:
Expressar a solução como uma série de potências.
Encontrar a relação de recorrência entre os coeficientes da série.
Calcular os 5 primeiros termos de cada solução.
Se der, achar uma expressão geral para os termos.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em :
A gente também precisa das derivadas dessa série:
Passo 3
Agora, vamos substituir , e na equação diferencial:
Fazendo a substituição:
Passo 4
Vamos ajustar os índices das somas para que todas as séries estejam em termos de . Para isso, vamos substituir por na primeira soma:
Passo 5
Expandindo como , temos:
Então:
Agora, ajustamos o índice da primeira parte da soma para :
Passo 6
Agora, todas as somas estão em termos de , então podemos combiná-las:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de a zero:
Para :
Simplificando:
Para :
Simplificando:
Passo 8
Agora, isolamos para obter a relação de recorrência:
Simplificando:
Passo 9
Para encontrar os 5 primeiros termos da série, precisamos de 5 coeficientes . Normalmente, estabelecemos e como constantes arbitrárias (já que a solução é geral). Vamos supor e , onde e são constantes.
Usando a relação de recorrência:
Para :
Para :
Substituindo :
Para :
Substituindo e :
Para :
Substituindo , e :
Passo 10
Resumindo, os 5 primeiros termos são:
Com:
Passo 11
Por fim, para encontrar um termo geral, precisaríamos identificar um padrão nos coeficientes . No entanto, devido à complexidade da relação de recorrência, encontrar uma expressão geral explícita para não é trivial e pode não ser possível sem métodos avançados. Portanto, vamos parar por aqui.
Resposta
Seguindo os passos acima, a solução da equação diferencial em série de potências centrada em é:
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.