Em cada um dos problemas a seguir: 1) procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado Encontre a relação de recorrência; 3) Encontre os 5 primeiros termos de cada uma das soluções; 4) Se possível encontre a o termo geral de cada solução.
(g) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
Vamos resolver isso usando séries de potências em torno do ponto . Para isso, a gente vai precisar:
  1. Expressar a solução como uma série de potências.
  2. Encontrar a relação de recorrência entre os coeficientes da série.
  3. Calcular os 5 primeiros termos de cada solução.
  4. Se der, achar uma expressão geral para os termos.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em :
A gente também precisa das derivadas dessa série:

Passo 3

Agora, vamos substituir , e na equação diferencial:
Fazendo a substituição:

Passo 4

Vamos ajustar os índices das somas para que todas as séries estejam em termos de . Para isso, vamos substituir por na primeira soma:

Passo 5

Expandindo como , temos:
Então:
Agora, ajustamos o índice da primeira parte da soma para :

Passo 6

Agora, todas as somas estão em termos de , então podemos combiná-las:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de a zero:
Para :
Simplificando:
Para :
Simplificando:

Passo 8

Agora, isolamos para obter a relação de recorrência:
Simplificando:

Passo 9

Para encontrar os 5 primeiros termos da série, precisamos de 5 coeficientes . Normalmente, estabelecemos e como constantes arbitrárias (já que a solução é geral). Vamos supor e , onde e são constantes.
Usando a relação de recorrência:
Para :
Para :
Substituindo :
Para :
Substituindo e :
Para :
Substituindo , e :

Passo 10

Resumindo, os 5 primeiros termos são:
Com:

Passo 11

Por fim, para encontrar um termo geral, precisaríamos identificar um padrão nos coeficientes . No entanto, devido à complexidade da relação de recorrência, encontrar uma expressão geral explícita para não é trivial e pode não ser possível sem métodos avançados. Portanto, vamos parar por aqui.

Resposta

Seguindo os passos acima, a solução da equação diferencial em série de potências centrada em é:
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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