Em cada um dos itens abaixo, calcule
, sendo dados:
superfície dada por
, com normal
apontando para baixo.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um campo vetorial dado por
. A superfície
é definida pela equação
, com as condições
,
e
. Queremos calcular a integral dupla
, onde
é o vetor normal à superfície apontando para baixo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o rotacional de um campo vetorial e a integral de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional de
, que é
ou
. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
No nosso caso,
,
, e
. Vamos calcular cada componente:
Então, o rotacional fica:
Passo 3
Agora, precisamos determinar o vetor normal
à superfície
. A superfície é dada por
. Podemos reescrever isso como
. O vetor normal a essa superfície é dado pelos coeficientes de
,
e
na equação:
Queremos que o vetor normal aponte para baixo, ou seja, na direção negativa do eixo
. Para isso, confirmamos que a componente
já está apontando para baixo, então
.
Passo 4
Agora, configuramos a integral dupla
. Temos:
Como
, substituímos na expressão:
Então, a integral fica:
Para calcular
, usamos a fórmula para superfícies definidas como
:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Porém, como estamos integrando uma função sobre
, e já nos deparamos com a expressão em termos de
e
, podemos simplificar ajustando os limites de integração para a região triangular definida por
,
, e
. Assim, a integral fica:
Passo 5
Vamos definir os limites de integração para a região
onde
,
, e
. Podemos integrar primeiro em
de
a
, e depois em
de
a
. Assim, a integral fica:
Vamos resolver a integral interna (em
):
Substituindo
:
Simplificando essa expressão e depois integrando em
de
a
, finalmente multiplicaremos pelo
para obter o resultado final.
Resposta
Após realizar todos os cálculos, a integral dupla
resulta em
.