Determine o intervalo no qual o PVI abaixo
admite uma única solução.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um problema de valor inicial (PVI) com uma equação diferencial de segunda ordem e condições iniciais dadas em . O conteúdo que vamos usar envolve teoria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e o teorema de existência e unicidade de soluções. Precisamos verificar em qual intervalo ao redor de essa equação admite uma única solução.

Passo 2

A equação diferencial dada é:
Primeiro, identificamos os coeficientes da equação:
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • Termo independente:
Para aplicar o teorema de existência e unicidade, precisamos que esses coeficientes sejam contínuos no intervalo de interesse.

Passo 3

Vamos verificar onde o coeficiente de , , pode ser zero, pois isso pode causar descontinuidade. Resolvemos a equação:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as raízes são e .

Passo 4

Esses valores, e , são pontos onde o coeficiente de se anula, o que pode causar descontinuidade na equação diferencial. Para garantir que os coeficientes sejam contínuos, devemos excluir esses pontos do domínio.
Como o PVI está dado em , procuramos o maior intervalo ao redor de que não inclua esses pontos problemáticos. Observando, vemos que está entre e .

Passo 5

Portanto, o intervalo onde todos os coeficientes são contínuos e que contém é de até .

Resposta

O intervalo no qual o PVI admite uma única solução é .

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