Se (n+1) x(n+1) + n x(n) = 2n - 3 e x0 = 1, determine xn.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida pela relação e sabendo que . Nosso objetivo é encontrar uma fórmula geral para . Para resolver isso, vamos usar recorrência linear e solução de equações recursivas. Vamos precisar reorganizar a equação e usar algumas técnicas de resolução de recorrências.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar x_n+1:
Agora, dividimos ambos os lados por n + 1 para encontrar x_n+1:

Passo 3

Para facilitar, vamos dividir a fração:
Podemos simplificar :
Substituindo de volta:
Juntando os termos constantes:

Passo 4

Agora, vemos que a relação é do tipo:
Para resolver essa equação recorrente linear, vamos usar o fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 6

Integramos ambos os lados para encontrar :
Como , podemos encontrar a constante C.

Passo 7

Calculando a soma:
Após simplificar as somas, obtemos:
Aplicando a condição inicial :

Resposta

A solução geral para é:

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