Se
! e
, determine
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma relação de recorrência que conecta termos consecutivos de uma sequência. O enunciado é:
E a condição inicial é:
Nossa missão é encontrar uma fórmula para
. Para isso, vamos precisar entender como resolver relações de recorrência lineares e usar fator integrante. Vamos aos passos!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a relação de recorrência para ficar mais fácil de trabalhar. Queremos que ela fique no formato padrão:
Isso ajuda a visualizar que cada termo
depende de
mais um termo que envolve o fatorial.
Passo 3
Agora, vamos mudar o índice para facilitar os cálculos. Deixe
. Assim:
Isso simplifica a notação e deixa claro que estamos lidando com
em função de
.
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos usar um fator integrante. Primeiro, reescrevemos a equação de forma que fique parecendo uma equação linear:
A forma padrão de uma equação linear é:
Comparando, temos
e
.
Passo 5
O próximo passo é encontrar o fator integrante
. Ele é dado por:
Calculando a soma de
:
Então:
Mas, para simplificar, percebemos que nessa situação específica, uma abordagem mais direta é usar os coeficientes e resolver a equação homogênea associada.
Passo 6
Vamos resolver a equação homogênea associada:
Isso nos dá:
Resolvendo essa equação, percebemos que:
Mas precisamos considerar a parte não homogênea da equação original para encontrar uma solução completa.
Passo 7
Considerando a equação completa:
Propomos uma solução da forma:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Isso nos leva a uma relação simples para
:
Com
(já que
).
Passo 8
Resolvendo a relação para
:
É uma soma simples, temos:
Então, a solução para
é:
Voltando ao índice original
:
Resposta
A solução é:
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo, calcule
, sendo dados:
superfície dada por
, com normal
apontando para baixo.
Em cada um dos ítens abaixo, verifique os Teoremas de Gauss no plano e de Stokes no plano para o campo
e a região
dados.
e
é a região limitada pela circunferência
.
Em cada um dos itens abaixo, calcule
, sendo dados:
a parte do primeiro octante do plano
, com normal
apontando para fora.