Se ! e , determine .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma relação de recorrência que conecta termos consecutivos de uma sequência. O enunciado é:
E a condição inicial é:
Nossa missão é encontrar uma fórmula para . Para isso, vamos precisar entender como resolver relações de recorrência lineares e usar fator integrante. Vamos aos passos!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a relação de recorrência para ficar mais fácil de trabalhar. Queremos que ela fique no formato padrão:
Isso ajuda a visualizar que cada termo depende de mais um termo que envolve o fatorial.

Passo 3

Agora, vamos mudar o índice para facilitar os cálculos. Deixe . Assim:
Isso simplifica a notação e deixa claro que estamos lidando com em função de .

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos usar um fator integrante. Primeiro, reescrevemos a equação de forma que fique parecendo uma equação linear:
A forma padrão de uma equação linear é:
Comparando, temos e .

Passo 5

O próximo passo é encontrar o fator integrante . Ele é dado por:
Calculando a soma de :
Então:
Mas, para simplificar, percebemos que nessa situação específica, uma abordagem mais direta é usar os coeficientes e resolver a equação homogênea associada.

Passo 6

Vamos resolver a equação homogênea associada:
Isso nos dá:
Resolvendo essa equação, percebemos que:
Mas precisamos considerar a parte não homogênea da equação original para encontrar uma solução completa.

Passo 7

Considerando a equação completa:
Propomos uma solução da forma:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Isso nos leva a uma relação simples para :
Com (já que ).

Passo 8

Resolvendo a relação para :
É uma soma simples, temos:
Então, a solução para é:
Voltando ao índice original :

Resposta

A solução é:

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo, calcule , sendo dados:
superfície dada por , com normal apontando para baixo.
Em cada um dos ítens abaixo, verifique os Teoremas de Gauss no plano e de Stokes no plano para o campo e a região dados.
e é a região limitada pela circunferência .
e , determine .
Em cada um dos itens abaixo, calcule , sendo dados:
a parte do primeiro octante do plano , com normal apontando para fora.