Em cada um dos ítens abaixo, verifique os Teoremas de Gauss no plano e de Stokes no plano para o campo F e a região R dados.
F(x, y) = y^2 * i + x^2 * j e R é a região limitada pela circunferência x^2 + y^2 = 4.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício tá pedindo. A gente tem um campo vetorial F(x, y) = y^2 * i + x^2 * j e uma região R que é o círculo x^2 + y^2 = 4. A tarefa é verificar os Teoremas de Gauss e de Stokes para esse campo e essa região. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre divergência e rotacional, que são conceitos chave desses teoremas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no Teorema de Gauss no plano. Esse teorema relaciona a integral de fluxo do campo vetorial através da fronteira de uma região com a integral dupla da divergência desse campo sobre a região.
A fórmula do Teorema de Gauss é:
Onde:
  • é a fronteira da região R.
  • n é o vetor normal à fronteira.
  • é a divergência de F.
Vamos calcular a divergência de F:
No nosso caso, e , então:
Isso significa que a divergência do campo é zero em toda a região. Portanto, a integral dupla da divergência sobre R também será zero:
Assim, pelo Teorema de Gauss, a integral de fluxo também é zero.

Passo 3

Agora, vamos verificar o Teorema de Stokes no plano. No contexto do plano, esse teorema relaciona a integral de circulação do campo vetorial ao redor da fronteira da região com a integral dupla do rotacional desse campo sobre a região.
A fórmula do Teorema de Stokes é:
Onde:
  • k é o vetor unitário perpendicular ao plano.
  • nabla vezes F é o rotacional de F.
Vamos calcular o rotacional de F:
Com e , temos:
Agora, vamos integrar esse rotacional sobre a região R. Mas olha só a região R é um círculo centrado na origem, e as funções e são simétricas em relação ao círculo. Quando integrarmos essas funções sobre a região simétrica, as contribuições positivas e negativas vão se cancelar, resultando em zero.
Portanto:
Assim, pelo Teorema de Stokes, a integral de circulação também é zero.

Resposta

Tanto pela Teorema de Gauss quanto pela Teorema de Stokes, a integral resulta em zero.

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