Em cada um dos ítens abaixo, verifique os Teoremas de Gauss no plano e de Stokes no plano para o campo
e a região
dados.
e
é a região limitada pela circunferência
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício tá pedindo. A gente tem um campo vetorial
e uma região
que é o círculo
. A tarefa é verificar os Teoremas de Gauss e de Stokes para esse campo e essa região. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre divergência e rotacional, que são conceitos chave desses teoremas.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no Teorema de Gauss no plano. Esse teorema relaciona a integral de fluxo do campo vetorial através da fronteira de uma região com a integral dupla da divergência desse campo sobre a região.
A fórmula do Teorema de Gauss é:
Onde:
-
é a fronteira da região . -
é o vetor normal à fronteira. -
é a divergência de .
Vamos calcular a divergência de
:
No nosso caso,
e
, então:
Isso significa que a divergência do campo é zero em toda a região. Portanto, a integral dupla da divergência sobre
também será zero:
Assim, pelo Teorema de Gauss, a integral de fluxo também é zero.
Passo 3
Agora, vamos verificar o Teorema de Stokes no plano. No contexto do plano, esse teorema relaciona a integral de circulação do campo vetorial ao redor da fronteira da região com a integral dupla do rotacional desse campo sobre a região.
A fórmula do Teorema de Stokes é:
Onde:
-
é o vetor unitário perpendicular ao plano. -
é o rotacional de .
Vamos calcular o rotacional de
:
Com
e
, temos:
Agora, vamos integrar esse rotacional sobre a região
. Mas olha só a região
é um círculo centrado na origem, e as funções
e
são simétricas em relação ao círculo. Quando integrarmos essas funções sobre a região simétrica, as contribuições positivas e negativas vão se cancelar, resultando em zero.
Portanto:
Assim, pelo Teorema de Stokes, a integral de circulação também é zero.
Resposta
Tanto pela Teorema de Gauss quanto pela Teorema de Stokes, a integral resulta em zero.