Em cada um dos itens abaixo, calcule , sendo dados: a parte do primeiro octante do plano , com normal apontando para fora.
Passo 1
Vamos calcular a integral de superfície , onde . A superfície é a parte do primeiro octante do plano , com a normal apontando para fora. Para resolver, vamos precisar entender o conceito de rotacional de um campo vetorial e como calcular integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o rotacional de , que é representado por ou . O rotacional nos dá uma medida de quanto o campo gira em torno de um ponto.
Passo 3
Calculando o rotacional:
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Passo 5
Agora, precisamos determinar o vetor normal à superfície . O plano tem um vetor normal dado por . Como a normal deve apontar para fora do primeiro octante, usamos .
Passo 6
A integral de superfície fica:
Passo 7
Vamos parametrizar a superfície no primeiro octante. No plano , podemos expressar . Os limites para e são , e .
Passo 8
A área diferencial no plano é dada por:
Passo 9
Substituindo na integral:
Passo 10
A região é definida por e . Então, a integral se torna: