Em cada um dos itens abaixo, calcule , sendo dados: a parte do primeiro octante do plano , com normal apontando para fora.
Passo 1
Vamos calcular a integral de superfície , onde . A superfície é a parte do primeiro octante do plano , com a normal apontando para fora. Para resolver, vamos precisar entender o conceito de rotacional de um campo vetorial e como calcular integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o rotacional de , que é representado por ou . O rotacional nos dá uma medida de quanto o campo gira em torno de um ponto.
Passo 3
Calculando o rotacional:
= ( partial x^2partial y - partial z^2partial z ) i - ( partial x^2partial x - partial y^2partial z ) j + ( partial y^2partial x - partial z^2partial y ) k
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
rot F = (0 - 2z) i - (2x - 0) j + (0 - 0) k = -2z i - 2x j
Passo 5
Agora, precisamos determinar o vetor normal n à superfície S. O plano x + y + z = 1 tem um vetor normal dado por (1, 1, 1). Como a normal deve apontar para fora do primeiro octante, usamos n = (1, 1, 1).
Passo 6
A integral de superfície fica:
integral duplaS rot F cdot n , dS = integral duplaS (-2z i - 2x j) cdot (1, 1, 1) , dS = integral duplaS (-2z - 2x) , dS
Passo 7
Vamos parametrizar a superfície no primeiro octante. No plano x + y + z = 1, podemos expressar z = 1 - x - y. Os limites para x e y são x >= 0, y >= 0 e x + y <= 1.
Passo 8
A área diferencial no plano é dada por:
dS = raiz( partial zpartial x )^2 + ( partial zpartial y )^2 + 1 , dx , dy = raiz1 + 1 + 1 , dx , dy = raiz3 , dx , dy
Passo 9
Substituindo na integral:
integral duplaS (-2z - 2x) , dS = raiz3 integral duplaD ( -2(1 - x - y) - 2x ) , dx , dy
= raiz3 integral duplaD (-2 + 2x + 2y - 2x) , dx , dy = raiz3 integral duplaD (-2 + 2y) , dx , dy
Passo 10
A região D é definida por 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1 - x. Então, a integral se torna:
raiz3 integral0^1 integral0^1 - x (-2 + 2y) , dy , dx
Passo 11
Calculando a integral interna:
integral0^1 - x (-2 + 2y) , dy = [ -2y + y^2 ]0^1 - x = -2(1 - x) + (1 - x)^2