Em cada um dos itens abaixo, calcule , sendo dados:
a parte do primeiro octante do plano , com normal apontando para fora.

Passo 1

Vamos calcular a integral de superfície , onde . A superfície é a parte do primeiro octante do plano , com a normal apontando para fora. Para resolver, vamos precisar entender o conceito de rotacional de um campo vetorial e como calcular integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o rotacional de , que é representado por ou . O rotacional nos dá uma medida de quanto o campo gira em torno de um ponto.

Passo 3

Calculando o rotacional:

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:

Passo 5

Agora, precisamos determinar o vetor normal à superfície . O plano tem um vetor normal dado por . Como a normal deve apontar para fora do primeiro octante, usamos .

Passo 6

A integral de superfície fica:

Passo 7

Vamos parametrizar a superfície no primeiro octante. No plano , podemos expressar . Os limites para e são , e .

Passo 8

A área diferencial no plano é dada por:

Passo 9

Substituindo na integral:

Passo 10

A região é definida por e . Então, a integral se torna:

Passo 11

Calculando a integral interna:

Passo 12

Integrando em :

Resposta

A integral avaliada é $ -\dfrac{2\sqrt{3}}{3} $.

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e , determine .
Se ! e , determine .
Encontre a solução para a recorrência para .
Resolva os seguintes PVI
(b)