Em cada um dos itens abaixo, calcule integral duplaS rot F cdot n d S, sendo dados:
F(x, y, z)=y^2 i+z^2 j+x^2 k, S a parte do primeiro octante do plano x+y+z=1, com normal n apontando para fora.

Passo 1

Vamos calcular a integral de superfície integral duplaS rot F cdot n , dS, onde F(x, y, z) = y^2 i + z^2 j + x^2 k. A superfície S é a parte do primeiro octante do plano x + y + z = 1, com a normal n apontando para fora. Para resolver, vamos precisar entender o conceito de rotacional de um campo vetorial e como calcular integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o rotacional de F, que é representado por rot F ou nabla times F. O rotacional nos dá uma medida de quanto o campo gira em torno de um ponto.

Passo 3

Calculando o rotacional:
rot F = nabla times F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z y^2 & z^2 & x^2
= ( partial x^2partial y - partial z^2partial z ) i - ( partial x^2partial x - partial y^2partial z ) j + ( partial y^2partial x - partial z^2partial y ) k

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
rot F = (0 - 2z) i - (2x - 0) j + (0 - 0) k = -2z i - 2x j

Passo 5

Agora, precisamos determinar o vetor normal n à superfície S. O plano x + y + z = 1 tem um vetor normal dado por (1, 1, 1). Como a normal deve apontar para fora do primeiro octante, usamos n = (1, 1, 1).

Passo 6

A integral de superfície fica:
integral duplaS rot F cdot n , dS = integral duplaS (-2z i - 2x j) cdot (1, 1, 1) , dS = integral duplaS (-2z - 2x) , dS

Passo 7

Vamos parametrizar a superfície no primeiro octante. No plano x + y + z = 1, podemos expressar z = 1 - x - y. Os limites para x e y são x >= 0, y >= 0 e x + y <= 1.

Passo 8

A área diferencial no plano é dada por:
dS = raiz( partial zpartial x )^2 + ( partial zpartial y )^2 + 1 , dx , dy = raiz1 + 1 + 1 , dx , dy = raiz3 , dx , dy

Passo 9

Substituindo na integral:
integral duplaS (-2z - 2x) , dS = raiz3 integral duplaD ( -2(1 - x - y) - 2x ) , dx , dy
= raiz3 integral duplaD (-2 + 2x + 2y - 2x) , dx , dy = raiz3 integral duplaD (-2 + 2y) , dx , dy

Passo 10

A região D é definida por 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1 - x. Então, a integral se torna:
raiz3 integral0^1 integral0^1 - x (-2 + 2y) , dy , dx

Passo 11

Calculando a integral interna:
integral0^1 - x (-2 + 2y) , dy = [ -2y + y^2 ]0^1 - x = -2(1 - x) + (1 - x)^2
= -2 + 2x + 1 - 2x + x^2 = -1 + x^2

Passo 12

Integrando em x:
raiz3 integral0^1 (-1 + x^2) , dx = raiz3 [ -x + x^33 ]0^1 = raiz3 ( -1 + 13 )
= raiz3 ( -23 ) = -2raiz33

Resposta

A integral avaliada é $ -\dfrac{2\sqrt{3}}{3} $.

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