Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI). A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: , com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria de equações diferenciais lineares homogêneas e não homogêneas, encontrar a solução geral e depois aplicar as condições iniciais para achar os constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente começa encontrando as soluções dessa parte homogênea.
Passo 3
Para resolver , montamos a equação característica: . Resolvendo para , temos . Como as raízes são imaginárias, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar depois.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular () para a equação completa . A gente vai usar o método dos coeficientes a determinar. Como o lado direito é uma combinação linear de e , nossa hipótese para será:
Onde e são constantes que precisamos achar.
Passo 5
Vamos derivar para substituir na equação diferencial:
Substituindo e suas derivadas na equação :
Simplificando:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes das funções trigonométricas:
Então, a solução particular é:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 8
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e . Primeiro, substituímos na solução geral:
Sabemos que , , e . Então:
Passo 9
Agora, vamos derivar para aplicar a segunda condição inicial: