(3,0) Resolva os seguintes PVI
(b) ly^prime prime+y=cos (2 x)-sen(2 x) y(pi2)=0 y^prime(pi2)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI). A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: , com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria de equações diferenciais lineares homogêneas e não homogêneas, encontrar a solução geral e depois aplicar as condições iniciais para achar os constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente começa encontrando as soluções dessa parte homogênea.

Passo 3

Para resolver yh(x) = C1 cos(x) + C2 sin(x) , montamos a equação característica: . Resolvendo para , temos . Como as raízes são imaginárias, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar depois.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( yp(x) = A cos(2x) + B sen(2x) ) para a equação completa . A gente vai usar o método dos coeficientes a determinar. Como o lado direito é uma combinação linear de e , nossa hipótese para será:
Onde e são constantes que precisamos achar.

Passo 5

Vamos derivar yp' = -2A sen(2x) + 2B cos(2x) para substituir na equação diferencial:
Substituindo yp'' = -4A cos(2x) - 4B sen(2x) e suas derivadas na equação :
Simplificando:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes das funções trigonométricas:
-3A = 1 Rightarrow A = -13
-3B = -1 Rightarrow B = 13
Então, a solução particular é:

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:

Passo 8

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar y(pi2) = C1 cos(pi2) + C2 sen(pi2) - 13 cos(pi) + 13 sen(pi) = 0 e 0 = 0 + C2 (1) - 13 (-1) + 0 Rightarrow 0 = C2 + 13 Rightarrow C2 = -13 . Primeiro, substituímos na solução geral:
Sabemos que , , e . Então:

Passo 9

Agora, vamos derivar y'(x) = -C1 sen(x) + C2 cos(x) + 23 sen(2x) + 23 cos(2x) para aplicar a segunda condição inicial:
Substituindo y'(pi2) = -C1 sen(pi2) + C2 cos(pi2) + 23 sen(pi) + 23 cos(pi) = 0 :
Sabendo que , 0 = -C1 (1) + 0 + 0 + 23 (-1) Rightarrow -C1 - 23 = 0 Rightarrow C1 = -23 , e :

Resposta

Substituindo y(x) = -23 cos(x) - 13 sen(x) - 13 cos(2x) + 13 sen(2x) e na solução geral, temos:

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