Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI). A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: , com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria de equações diferenciais lineares homogêneas e não homogêneas, encontrar a solução geral e depois aplicar as condições iniciais para achar os constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente começa encontrando as soluções dessa parte homogênea.
Passo 3
Para resolver yh(x) = C1 cos(x) + C2 sin(x) , montamos a equação característica: . Resolvendo para , temos . Como as raízes são imaginárias, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar depois.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( yp(x) = A cos(2x) + B sen(2x) ) para a equação completa . A gente vai usar o método dos coeficientes a determinar. Como o lado direito é uma combinação linear de e , nossa hipótese para será:
Onde e são constantes que precisamos achar.
Passo 5
Vamos derivar yp' = -2A sen(2x) + 2B cos(2x) para substituir na equação diferencial:
Substituindo yp'' = -4A cos(2x) - 4B sen(2x) e suas derivadas na equação :
Simplificando:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes das funções trigonométricas:
-3A = 1 Rightarrow A = -13
-3B = -1 Rightarrow B = 13
Então, a solução particular é:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular: