Resolva os seguintes PVI
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI). A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: , com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria de equações diferenciais lineares homogêneas e não homogêneas, encontrar a solução geral e depois aplicar as condições iniciais para achar os constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente começa encontrando as soluções dessa parte homogênea.

Passo 3

Para resolver , montamos a equação característica: . Resolvendo para , temos . Como as raízes são imaginárias, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar depois.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa . A gente vai usar o método dos coeficientes a determinar. Como o lado direito é uma combinação linear de e , nossa hipótese para será:
Onde e são constantes que precisamos achar.

Passo 5

Vamos derivar para substituir na equação diferencial:
Substituindo e suas derivadas na equação :
Simplificando:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes das funções trigonométricas:
Então, a solução particular é:

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:

Passo 8

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e . Primeiro, substituímos na solução geral:
Sabemos que , , e . Então:

Passo 9

Agora, vamos derivar para aplicar a segunda condição inicial:
Substituindo :
Sabendo que , , e :

Resposta

Substituindo e na solução geral, temos:

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Encontre a solução para a recorrência para .
Em cada um dos itens abaixo, calcule , sendo dados:
a parte do primeiro octante do plano , com normal apontando para fora.
Encontre a solução para a recorrência .
Use o Método de Redução de Ordem para encontrar uma scgıuda solução da cquação liferencial
sabendo que uma solução da equação é .