Encontre a solução para a recorrência F_n+2 - F_n+1 - F_n = 0 para n ≥ 2 e F0 = F1 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa recorrência juntos! A questão pede para encontrar a solução da equação de recorrência para , com as condições iniciais . O que isso significa é que cada termo da sequência depende dos dois termos anteriores. Para resolver isso, vamos usar o método das equações características, que envolve achar raízes de uma equação quadrática associada.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação característica da recorrência. Para uma recorrência linear de segunda ordem como essa, a equação característica é obtida substituindo por . Assim, temos:
Dividindo todos os termos por (assumindo ), simplificamos para:

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes e . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da recorrência é uma combinação linear dessas raízes elevadas à potência . Ou seja:
Aqui, e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais fornecidas.

Passo 5

Vamos agora aplicar as condições iniciais para encontrar e . Começamos com :
E para :

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar . Substituindo na segunda equação:
Expandindo:
Fatorando :
Então:

Passo 7

Vamos calcular :
E :
Então, substituindo:
E como , temos:

Passo 8

Agora, substituímos e na solução geral:
Podemos simplificar um pouco mais percebendo que e , mas essa é a forma fechada da solução.

Resposta

A solução da recorrência é dada por:

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