Encontre a solução para a recorrência
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa recorrência juntos! A questão pede para encontrar a solução da equação de recorrência
para
, com as condições iniciais
. O que isso significa é que cada termo da sequência depende dos dois termos anteriores. Para resolver isso, vamos usar o método das equações características, que envolve achar raízes de uma equação quadrática associada.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação característica da recorrência. Para uma recorrência linear de segunda ordem como essa, a equação característica é obtida substituindo
por
. Assim, temos:
Dividindo todos os termos por
(assumindo
), simplificamos para:
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa equação quadrática
para encontrar as raízes
e
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da recorrência é uma combinação linear dessas raízes elevadas à potência
. Ou seja:
Aqui,
e
são constantes que determinaremos usando as condições iniciais fornecidas.
Passo 5
Vamos agora aplicar as condições iniciais para encontrar
e
. Começamos com
:
E para
:
Passo 6
Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar
. Substituindo na segunda equação:
Expandindo:
Fatorando
:
Então:
Passo 7
Vamos calcular
:
E
:
Então, substituindo:
E como
, temos:
Passo 8
Agora, substituímos
e
na solução geral:
Podemos simplificar um pouco mais percebendo que
e
, mas essa é a forma fechada da solução.
Resposta
A solução da recorrência é dada por: