Em cada um dos itens abaixo, calcule
, sendo dados:
a parte do parabolóide
interceptada pelo plano
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos que calcular a integral de superfície de
sobre a superfície
. Aqui,
representa o rotacional do campo vetorial
, que é:
A superfície
é a parte do parabolóide
que está acima do plano
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial com a integral de linha do campo ao longo da borda da superfície.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o rotacional de
, ou seja,
. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 3
Agora, aplicaremos o Teorema de Stokes, que nos diz que:
Aqui,
é a borda da superfície
. No nosso caso, a superfície
é o parabolóide
interceptado pelo plano
, então a borda
é o círculo onde
, ou seja:
Portanto, a borda é um círculo de raio 2 no plano
.
Passo 4
Vamos parametrizar a curva
. Em coordenadas polares, onde
e
, com
variando de
a
. Como
na borda, a parametrização fica:
Derivamos
em relação a
para encontrar
:
Passo 5
Agora, substituímos
na curva parametrizada:
Mas como estamos calculando
e somente as componentes
e
de
são diferentes de zero, a componente
de
não contribui para a integral. Assim:
Passo 6
Finalmente, integramos
de
a
:
Vamos calcular cada integral separadamente:
Sabemos que
, então:
Somando os resultados:
Resposta
A integral de superfície vale
.
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sabendo que uma solução da equação é
.
Encontre a solução para a recorrência
.
©
De quantos modos é possível colocar 8 pessoas em fila de modo que duas dessas pessoas, Vera e Paulo, não fiquem juntas?