Em cada um dos itens abaixo, calcule , sendo dados:
a parte do parabolóide interceptada pelo plano .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos que calcular a integral de superfície de sobre a superfície . Aqui, representa o rotacional do campo vetorial , que é:
A superfície é a parte do parabolóide que está acima do plano . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial com a integral de linha do campo ao longo da borda da superfície.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o rotacional de , ou seja, . O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Calculando as derivadas parciais:
Então,

Passo 3

Agora, aplicaremos o Teorema de Stokes, que nos diz que:
Aqui, é a borda da superfície . No nosso caso, a superfície é o parabolóide interceptado pelo plano , então a borda é o círculo onde , ou seja:
Portanto, a borda é um círculo de raio 2 no plano .

Passo 4

Vamos parametrizar a curva . Em coordenadas polares, onde e , com variando de a . Como na borda, a parametrização fica:
Derivamos em relação a para encontrar :

Passo 5

Agora, substituímos na curva parametrizada:
Mas como estamos calculando e somente as componentes e de são diferentes de zero, a componente de não contribui para a integral. Assim:

Passo 6

Finalmente, integramos de a :
Vamos calcular cada integral separadamente:
Sabemos que , então:
Somando os resultados:

Resposta

A integral de superfície vale .

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