Em cada um dos itens abaixo, calcule integral duplaS rot F cdot n d S, sendo dados:
F(x, y, z)=2 y i+e^z j-(arctg x) k, S a parte do parabolóide z=4-x^2-y^2 interceptada pelo plano x y.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos que calcular a integral de superfície de rot F cdot n , dS sobre a superfície S. Aqui, rot F representa o rotacional do campo vetorial F, que é:
F(x, y, z) = 2y,i + e^z,j - arctan(x),k
A superfície S é a parte do parabolóide z = 4 - x^2 - y^2 que está acima do plano xy. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial com a integral de linha do campo ao longo da borda da superfície.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o rotacional de F, ou seja, rot F. O rotacional de um campo vetorial F = P,i + Q,j + R,k é dado por:
rot F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z )i + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x )j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y )k
Vamos calcular cada componente:
  • P = 2y
  • Q = e^z
  • R = -arctan(x)
Calculando as derivadas parciais:
  • partial Rpartial y = 0
  • partial Qpartial z = e^z
  • partial Ppartial z = 0
  • partial Rpartial x = -11 + x^2
  • partial Qpartial x = 0
  • partial Ppartial y = 2
Então,
rot F = (0 - e^z)i + (0 - (-11 + x^2))j + (0 - 2)k = -e^z,i + 11 + x^2,j - 2,k

Passo 3

Agora, aplicaremos o Teorema de Stokes, que nos diz que:
integral duplaS rot F cdot n , dS = ointpartial S F cdot dr
Aqui, partial S é a borda da superfície S. No nosso caso, a superfície S é o parabolóide z = 4 - x^2 - y^2 interceptado pelo plano xy, então a borda partial S é o círculo onde z = 0, ou seja:
0 = 4 - x^2 - y^2 implies x^2 + y^2 = 4
Portanto, a borda é um círculo de raio 2 no plano xy.

Passo 4

Vamos parametrizar a curva partial S. Em coordenadas polares, onde x = 2costheta e y = 2sintheta, com theta variando de 0 a 2pi. Como z = 0 na borda, a parametrização fica:
r(theta) = 2costheta,i + 2sintheta,j + 0,k
Derivamos r(theta) em relação a theta para encontrar dr:
drdtheta = -2sintheta,i + 2costheta,j + 0,k implies dr = (-2sintheta,i + 2costheta,j) dtheta

Passo 5

Agora, substituímos F na curva parametrizada:
F(r(theta)) = 2y,i + e^z,j - arctan(x),k = 2(2sintheta),i + e^0,j - arctan(2costheta),k = 4sintheta,i + 1,j - arctan(2costheta),k
Mas como estamos calculando F cdot dr e somente as componentes i e j de dr são diferentes de zero, a componente k de F não contribui para a integral. Assim:
F cdot dr = (4sintheta)(-2sintheta) + (1)(2costheta) = -8sin^2theta + 2costheta

Passo 6

Finalmente, integramos F cdot dr de theta = 0 a theta = 2pi:
ointpartial S F cdot dr = integral0^2pi (-8sin^2theta + 2costheta) dtheta
Vamos calcular cada integral separadamente:
  1. integral0^2pi -8sin^2theta , dtheta
Sabemos que sin^2theta = 1 - cos(2theta)2, então:
-8 integral0^2pi 1 - cos(2theta)2 dtheta = -4 integral0^2pi (1 - cos(2theta)) dtheta = -4 [ theta - sin(2theta)2 ]0^2pi = -4(2pi - 0) = -8pi
  1. integral0^2pi 2costheta , dtheta = 2 [ sintheta ]0^2pi = 2(0 - 0) = 0
Somando os resultados:
-8pi + 0 = -8pi

Resposta

A integral de superfície vale -8pi.

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