(3,0) Encontre a solução geral das equações homogêneas.
© 2 y'' - 2 y' + y = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial homogênea . Esse tipo de equação faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais de Ordem 2 com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar a equação característica, que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para facilitar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir por , por e por 1 na equação original. Isso nos dá a equação característica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
onde , , e .

Passo 4

Calculando o discriminante ( ):
Como , as raízes são complexas e podemos escrever .

Passo 5

Vamos encontrar e :
Então, as raízes são .

Passo 6

Quando temos raízes complexas da forma , a solução geral da equação diferencial é:

Passo 7

Substituindo e na fórmula, temos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados