Encontre a solução geral das equações homogêneas.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial homogênea
. Esse tipo de equação faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais de Ordem 2 com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar a equação característica, que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para facilitar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
por
,
por
e
por 1 na equação original. Isso nos dá a equação característica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
onde
,
, e
.
Passo 4
Calculando o discriminante (
):
Como
, as raízes são complexas e podemos escrever
.
Passo 5
Vamos encontrar
e
:
Então, as raízes são
.
Passo 6
Quando temos raízes complexas da forma
, a solução geral da equação diferencial é:
Passo 7
Substituindo
e
na fórmula, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.