Use o Método de Redução de Ordem para encontrar uma scgıuda solução da cquação liferencial
sabendo que uma solução da equação é .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
E já sabemos que uma solução dessa equação é . O conteúdo que vamos usar aqui é o Método de Redução de Ordem, que ajuda a encontrar uma segunda solução quando já conhecemos uma solução da equação homogênea. Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e como aplicar esse método passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Método de Redução de Ordem. Quando temos uma equação diferencial linear de segunda ordem e conhecemos uma solução particular , podemos encontrar uma segunda solução na forma:
Aqui, é uma função que a gente precisa descobrir. Nossa é , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de . Primeiro, a primeira derivada:
E a segunda derivada:

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial original:
Vamos simplificar cada termo:

Passo 5

Agora, combinamos os termos semelhantes:
Simplificando:

Passo 6

Dividindo toda a equação por para simplificar:
Isso nos dá uma equação diferencial de primeira ordem para . Vamos chamar , então:

Passo 7

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Podemos resolvê-la usando o fator integrante. A equação é:
O fator integrante é dado por:

Passo 8

Multiplicamos a equação diferencial pelo fator integrante:
Integrando ambos os lados:
Lembrando que :

Passo 9

Integramos para encontrar :
Como estamos buscando uma solução particular, podemos considerar apenas o termo com :

Passo 10

Voltando à expressão para :
Podemos ignorar a constante já que estamos buscando uma solução particular.

Resposta

A segunda solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Encontre a solução para a recorrência .
Resolva os seguintes PVI
(b)
Em cada um dos itens abaixo, calcule , sendo dados:
a parte do parabolóide interceptada pelo plano .
Encontre a solução geral das equações homogêneas.
© .