Use o Método de Redução de Ordem para encontrar uma scgıuda solução da cquação liferencial
sabendo que uma solução da equação é
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
E já sabemos que uma solução dessa equação é
. O conteúdo que vamos usar aqui é o Método de Redução de Ordem, que ajuda a encontrar uma segunda solução quando já conhecemos uma solução da equação homogênea. Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e como aplicar esse método passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Método de Redução de Ordem. Quando temos uma equação diferencial linear de segunda ordem e conhecemos uma solução particular
, podemos encontrar uma segunda solução
na forma:
Aqui,
é uma função que a gente precisa descobrir. Nossa
é
, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
. Primeiro, a primeira derivada:
E a segunda derivada:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Vamos simplificar cada termo:
Passo 5
Agora, combinamos os termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 6
Dividindo toda a equação por
para simplificar:
Isso nos dá uma equação diferencial de primeira ordem para
. Vamos chamar
, então:
Passo 7
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Podemos resolvê-la usando o fator integrante. A equação é:
O fator integrante
é dado por:
Passo 8
Multiplicamos a equação diferencial pelo fator integrante:
Integrando ambos os lados:
Lembrando que
:
Passo 9
Integramos
para encontrar
:
Como estamos buscando uma solução particular, podemos considerar apenas o termo com
:
Passo 10
Voltando à expressão para
:
Podemos ignorar a constante
já que estamos buscando uma solução particular.
Resposta
A segunda solução da equação diferencial é: