Encontre a solução para a recorrência x_{n+2} + 3 x_{n+1} - 4 x_{n} = 0.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos encontrar a solução para a recorrência . Essa é uma recorrência linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, então vamos usar o método das equações características para resolver.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação característica associada à recorrência. Substituímos por , o que nos dá:
Podemos dividir ambos os lados por (assumindo que ):

Passo 3

Agora, precisamos resolver a equação quadrática . Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando o discriminante ( ):

Passo 4

Com o discriminante , encontramos as raízes da equação:
Assim, temos duas soluções:

Passo 5

Como temos duas raízes distintas, a solução geral da recorrência é dada por:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais da recorrência.

Resposta

A solução da recorrência é , onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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