Em cada um dos ítens abaixo, calcule a integral de linha dada.
(b) ointgamma y^2 d x+x^2 d y, onde gamma é a curva fechada determinada pelo eixo- x, pela reta x=1 e pela curva y=x^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha ointgamma y^2 dx + x^2 dy, onde a curva fechada gamma é formada pelo eixo x, pela reta x=1 e pela curva y=x^2. Esse tipo de problema faz parte do estudo de cálculo vetorial, mais especificamente das integrais de linha e do Teorema de Green, que vamos utilizar para resolver.

Passo 2

Primeiro, como a curva gamma é fechada, podemos aplicar o Teorema de Green. Esse teorema nos permite transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva. Isso geralmente simplifica os cálculos!

Passo 3

O Teorema de Green afirma que:
ointgamma P,dx + Q,dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
No nosso caso, P = y^2 e Q = x^2.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (x^2) = 2x
partial Ppartial y = partialpartial y (y^2) = 2y
Subtraindo essas duas derivadas:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2x - 2y = 2(x - y)

Passo 5

Agora, precisamos definir a região D sobre a qual vamos integrar. A curva gamma é delimitada pelo eixo x, pela reta x=1 e pela parábola y = x^2. Então, estamos olhando para a área entre x=0 e x=1, e entre y=0 (eixo x) e y = x^2.

Passo 6

Vamos configurar a integral dupla:
integral duplaD 2(x - y),dA = 2 integral0^1 integral0^x^2 (x - y),dy,dx
Primeiro, integramos em relação a y:
integral0^x^2 (x - y),dy = [ xy - 12y^2 ]0^x^2 = x(x^2) - 12(x^2)^2 - (0 - 0) = x^3 - 12x^4
Agora, integramos em relação a x:
2 integral0^1 ( x^3 - 12x^4 ) dx = 2 [ 14x^4 - 110x^5 ]0^1 = 2 ( 14 - 110 ) = 2 ( 520 - 220 ) = 2 ( 320 ) = 310

Resposta

A integral de linha é 310.

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