Em cada um dos ítens abaixo, calcule a integral de linha dada.
(b) , onde é a curva fechada determinada pelo eixo- , pela reta e pela curva .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha , onde a curva fechada é formada pelo eixo , pela reta e pela curva . Esse tipo de problema faz parte do estudo de cálculo vetorial, mais especificamente das integrais de linha e do Teorema de Green, que vamos utilizar para resolver.

Passo 2

Primeiro, como a curva é fechada, podemos aplicar o Teorema de Green. Esse teorema nos permite transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva. Isso geralmente simplifica os cálculos!

Passo 3

O Teorema de Green afirma que:
No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Subtraindo essas duas derivadas:

Passo 5

Agora, precisamos definir a região sobre a qual vamos integrar. A curva é delimitada pelo eixo , pela reta e pela parábola . Então, estamos olhando para a área entre e , e entre (eixo ) e .

Passo 6

Vamos configurar a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :

Resposta

A integral de linha é .

Exercícios relacionados

Em cada um dos ítens abaixo, calcule a integral de linha dada.
(a) , onde é a curva fechada determinada pelo eixo- , pela reta e pela curva .
Em cada um dos itens abaixo, use o exercício anterior para calcular a área da região dada.
(b) A região cuja fronteira é a circunferência .
Em cada um dos ítens abaixo, calcule a integral de linha dada.
© , onde é a curva fechada determinada pela reta e pela parábola .
Enuncie e prove o Teorema de Green para regiões dos tipos e , onde são funções contínuas no intervalo e e , onde e são funções contínuas no intervalo .