Em cada um dos ítens abaixo, calcule a integral de linha dada.
(b)
, onde
é a curva fechada determinada pelo eixo-
, pela reta
e pela curva
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde a curva fechada
é formada pelo eixo
, pela reta
e pela curva
. Esse tipo de problema faz parte do estudo de cálculo vetorial, mais especificamente das integrais de linha e do Teorema de Green, que vamos utilizar para resolver.
Passo 2
Primeiro, como a curva
é fechada, podemos aplicar o Teorema de Green. Esse teorema nos permite transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva. Isso geralmente simplifica os cálculos!
Passo 3
O Teorema de Green afirma que:
No nosso caso,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Subtraindo essas duas derivadas:
Passo 5
Agora, precisamos definir a região
sobre a qual vamos integrar. A curva
é delimitada pelo eixo
, pela reta
e pela parábola
. Então, estamos olhando para a área entre
e
, e entre
(eixo
) e
.
Passo 6
Vamos configurar a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A integral de linha é
.
Exercícios relacionados
Em cada um dos ítens abaixo, calcule a integral de linha dada.
(a) , onde
é a curva fechada determinada pelo eixo-
, pela reta
e pela curva
.
(a)
Em cada um dos itens abaixo, use o exercício anterior para calcular a área da região dada.
(b) A região cuja fronteira é a circunferência .
(b) A região cuja fronteira é a circunferência
Em cada um dos ítens abaixo, calcule a integral de linha dada.
© , onde
é a curva fechada determinada pela reta
e pela parábola
.
©
Enuncie e prove o Teorema de Green para regiões dos tipos
e
, onde
são funções contínuas no intervalo
e
e
, onde
e
são funções contínuas no intervalo
.