Enuncie e prove o Teorema de Green para regiões dos tipos
e
, onde
são funções contínuas no intervalo
e
e
, onde
e
são funções contínuas no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para enunciar e provar o Teorema de Green para duas tipos de regiões no plano:
e
. Vamos precisar entender o que é o Teorema de Green, como ele se aplica a essas regiões específicas e usar algumas ferramentas de cálculo, como integrais duplas e a relação entre integrais de linha e integrais sobre áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos enunciar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Basicamente, ele nos permite converter uma integral complexa ao redor de uma fronteira em uma integral mais simples sobre a área interna.
Passo 3
Para enunciar o Teorema de Green para a região
, que é definida por
e
, temos:
O mesmo vale para a região
, definida por
e
:
Passo 4
Agora, vamos provar o Teorema de Green para a região
. Primeiro, consideramos que
é delimitada pelos limites
,
,
e
. Vamos dividir a fronteira
em quatro segmentos:
-
: de a ao longo de . -
: de a ao longo de . -
: de a ao longo de . -
: de a ao longo de .
Passo 5
Calculamos a integral de linha
somando as contribuições de cada segmento
a
. Em cada segmento, expressamos
e
em termos de
ou
, dependendo da parametrização.
Passo 6
Depois, calculamos a integral dupla
sobre a região
. Como
está bem definida pelas funções contínuas
e
, podemos integrar primeiro em
e depois em
.
Passo 7
Comparando as duas expressões, observamos que elas são iguais graças à aplicação das integrais e às propriedades das derivadas parciais. Isso confirma que o Teorema de Green vale para a região
. O mesmo raciocínio se aplica para a região
, onde as integrais são ajustadas conforme os limites definidos por
e
.
Resposta
Assim, enunciamos e provamos o Teorema de Green para as regiões
e
conforme solicitado.