Enuncie e prove o Teorema de Green para regiões dos tipos e , onde são funções contínuas no intervalo e e , onde e são funções contínuas no intervalo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para enunciar e provar o Teorema de Green para duas tipos de regiões no plano: e . Vamos precisar entender o que é o Teorema de Green, como ele se aplica a essas regiões específicas e usar algumas ferramentas de cálculo, como integrais duplas e a relação entre integrais de linha e integrais sobre áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos enunciar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Basicamente, ele nos permite converter uma integral complexa ao redor de uma fronteira em uma integral mais simples sobre a área interna.

Passo 3

Para enunciar o Teorema de Green para a região , que é definida por e , temos:
O mesmo vale para a região , definida por e :

Passo 4

Agora, vamos provar o Teorema de Green para a região . Primeiro, consideramos que é delimitada pelos limites , , e . Vamos dividir a fronteira em quatro segmentos:
  1. : de a ao longo de .
  2. : de a ao longo de .
  3. : de a ao longo de .
  4. : de a ao longo de .

Passo 5

Calculamos a integral de linha somando as contribuições de cada segmento a . Em cada segmento, expressamos e em termos de ou , dependendo da parametrização.

Passo 6

Depois, calculamos a integral dupla sobre a região . Como está bem definida pelas funções contínuas e , podemos integrar primeiro em e depois em .

Passo 7

Comparando as duas expressões, observamos que elas são iguais graças à aplicação das integrais e às propriedades das derivadas parciais. Isso confirma que o Teorema de Green vale para a região . O mesmo raciocínio se aplica para a região , onde as integrais são ajustadas conforme os limites definidos por e .

Resposta

Assim, enunciamos e provamos o Teorema de Green para as regiões e conforme solicitado.

Exercícios relacionados

Em cada um dos ítens abaixo, calcule a integral de linha dada.
© , onde é a curva fechada determinada pela reta e pela parábola .
Em cada um dos ítens abaixo, calcule a integral de linha dada.
(b) , onde é a curva fechada determinada pelo eixo- , pela reta e pela curva .
Em cada um dos ítens abaixo, calcule a integral de linha dada.
(d) , onde é a elipse
Seja , onde
Verifique a validade do Teorema de Green para a região e sua fornteira . (Sugestão: o campo é especial… ele aparece numa fórmula de área. Use esta informação e a versão do T.G. para regiões com buracos).