Em cada um dos ítens abaixo, calcule a integral de linha dada.
(a) ointgamma(x+y) d x+x y d y, onde gamma é a curva fechada determinada pelo eixo- x, pela reta x=2 e pela curva 4 y=x^3.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha ointgamma (x + y) , dx + xy , dy, onde gamma é uma curva fechada formada pelo eixo x, pela reta x = 2 e pela curva 4y = x^3. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas.

Passo 2

O Teorema de Green nos permite transformar a integral de linha ao redor de uma curva fechada em uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Isso simplifica o cálculo porque trabalhamos com uma área em vez de um percurso.

Passo 3

Primeiro, identificamos as funções que compõem a integral de linha:
  • P(x, y) = x + y
  • Q(x, y) = xy
Segundo o Teorema de Green, temos:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = y e partial Ppartial y = 1
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = y - 1

Passo 5

Agora, precisamos determinar os limites de integração para a região D. A curva gamma é formada por:
  1. O eixo x ( y = 0)
  2. A reta x = 2
  3. A curva 4y = x^3, que podemos reescrever como y = x^34
Portanto, para 0 <= x <= 2, a curva superior é y = x^34 e a inferior é y = 0.

Passo 6

A integral dupla fica assim:
integral duplaD (y - 1) , dx , dy = integral0^2 integral0^x^34 (y - 1) , dy , dx

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^x^34 (y - 1) , dy = [ y^22 - y ]0^x^34 = (x^34)^22 - x^34 = x^632 - x^34

Passo 8

Agora, integramos em relação a x:
integral0^2 ( x^632 - x^34 ) dx = 132 cdot x^77 g|0^2 - 14 cdot x^44 g|0^2
Calculando:
1224 cdot 128 - 116 cdot 16 = 128224 - 1 = 1628 - 1 = 47 - 1 = -37

Resposta

A integral de linha vale -dfrac37.

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