Em cada um dos ítens abaixo, calcule a integral de linha dada.
(a) , onde é a curva fechada determinada pelo eixo- , pela reta e pela curva .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha , onde é uma curva fechada formada pelo eixo , pela reta e pela curva . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas.
Passo 2
O Teorema de Green nos permite transformar a integral de linha ao redor de uma curva fechada em uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Isso simplifica o cálculo porque trabalhamos com uma área em vez de um percurso.
Passo 3
Primeiro, identificamos as funções que compõem a integral de linha:
Segundo o Teorema de Green, temos:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Passo 5
Agora, precisamos determinar os limites de integração para a região . A curva é formada por:
O eixo ()
A reta
A curva , que podemos reescrever como
Portanto, para , a curva superior é e a inferior é .