Em cada um dos ítens abaixo, calcule a integral de linha dada.
(a) , onde é a curva fechada determinada pelo eixo- , pela reta e pela curva .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha , onde é uma curva fechada formada pelo eixo , pela reta e pela curva . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas.

Passo 2

O Teorema de Green nos permite transformar a integral de linha ao redor de uma curva fechada em uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Isso simplifica o cálculo porque trabalhamos com uma área em vez de um percurso.

Passo 3

Primeiro, identificamos as funções que compõem a integral de linha:
Segundo o Teorema de Green, temos:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:

Passo 5

Agora, precisamos determinar os limites de integração para a região . A curva é formada por:
  1. O eixo ( )
  2. A reta
  3. A curva , que podemos reescrever como
Portanto, para , a curva superior é e a inferior é .

Passo 6

A integral dupla fica assim:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro:

Passo 8

Agora, integramos em relação a :
Calculando:

Resposta

A integral de linha vale .

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo, use o exercício anterior para calcular a área da região dada.
(b) A região cuja fronteira é a circunferência .
Use o Teorema de Green para encontrar o trabalho total realizado ao mover um objeto no sentido anti-horário, uma vez em torno da circunferência , se o movimento for causado pelo campo de forças .
Em cada um dos ítens abaixo, calcule a integral de linha dada.
(b) , onde é a curva fechada determinada pelo eixo- , pela reta e pela curva .
Em cada um dos ítens abaixo, calcule a integral de linha dada.
© , onde é a curva fechada determinada pela reta e pela parábola .