Em cada um dos ítens abaixo, calcule a integral de linha dada.
© , onde é a curva fechada determinada pela reta e pela parábola .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha fechada sobre uma curva específica. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de integrais de linha, mais especificamente usando o Teorema de Green para facilitar a resolução. Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green e identificar os limites da região delimitada pela reta e pela parábola dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Ela é fechada e é determinada pela interseção da reta e da parábola . Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber os limites da nossa região de integração.

Passo 3

Vamos igualar as duas equações para achar os valores de onde elas se encontram:
Então, ou . Agora, substituímos esses valores de em uma das equações para encontrar correspondente:
  • Para :
  • Para :
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha sobre uma curva fechada em uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. O Teorema de Green é dado por:
No nosso caso, a integral é , o que significa que e .

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:

Passo 6

Agora, precisamos definir os limites de integração para a região delimitada pela reta e pela parábola. Observe que para variando de a , a reta está à direita da parábola . Portanto, para cada nesse intervalo, varia de a .

Passo 7

Vamos montar a integral dupla:

Passo 8

Primeiro, integramos em relação a :

Passo 9

Agora, integramos em relação a :

Resposta

A integral de linha é igual a .

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Em cada um dos ítens abaixo, calcule a integral de linha dada.
(b) , onde é a curva fechada determinada pelo eixo- , pela reta e pela curva .
Em cada um dos ítens abaixo, calcule a integral de linha dada.
(a) , onde é a curva fechada determinada pelo eixo- , pela reta e pela curva .
Enuncie e prove o Teorema de Green para regiões dos tipos e , onde são funções contínuas no intervalo e e , onde e são funções contínuas no intervalo .
Em cada um dos ítens abaixo, calcule a integral de linha dada.
(d) , onde é a elipse