Em cada um dos ítens abaixo, calcule a integral de linha dada.
© ointgamma(-x^2+x) d y, onde gamma é a curva fechada determinada pela reta x-2 y=0 e pela parábola x=2 y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha fechada sobre uma curva específica. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de integrais de linha, mais especificamente usando o Teorema de Green para facilitar a resolução. Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green e identificar os limites da região delimitada pela reta e pela parábola dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva gamma. Ela é fechada e é determinada pela interseção da reta x - 2y = 0 e da parábola x = 2y^2. Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber os limites da nossa região de integração.

Passo 3

Vamos igualar as duas equações para achar os valores de y onde elas se encontram:
2y^2 = 2y 2y^2 - 2y = 0 2y(y - 1) = 0
Então, y = 0 ou y = 1. Agora, substituímos esses valores de y em uma das equações para encontrar x correspondente:
  • Para y = 0: x = 2(0)^2 = 0
  • Para y = 1: x = 2(1)^2 = 2
Portanto, os pontos de interseção são (0, 0) e (2, 1).

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha sobre uma curva fechada em uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. O Teorema de Green é dado por:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
No nosso caso, a integral é ointgamma (-x^2 + x) dy, o que significa que P = 0 e Q = -x^2 + x.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (-x^2 + x) = -2x + 1 partial Ppartial y = partialpartial y (0) = 0
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -2x + 1

Passo 6

Agora, precisamos definir os limites de integração para a região D delimitada pela reta e pela parábola. Observe que para y variando de 0 a 1, a reta x = 2y está à direita da parábola x = 2y^2. Portanto, para cada y nesse intervalo, x varia de 2y^2 a 2y.

Passo 7

Vamos montar a integral dupla:
integral duplaD (-2x + 1) , dx , dy = integraly=0^1 integralx=2y^2^2y (-2x + 1) , dx , dy

Passo 8

Primeiro, integramos em relação a x:
integral2y^2^2y (-2x + 1) , dx = [ -x^2 + x ]2y^2^2y = [ - (2y)^2 + 2y ] - [ - (2y^2)^2 + 2y^2 ] = [ -4y^2 + 2y ] - [ -16y^4 + 2y^2 ] = -4y^2 + 2y + 16y^4 - 2y^2 = 16y^4 - 6y^2 + 2y

Passo 9

Agora, integramos em relação a y:
integral0^1 (16y^4 - 6y^2 + 2y) , dy = [ 165y^5 - 2y^3 + y^2 ]0^1 = ( 165(1) - 2(1) + 1 ) - 0 = 165 - 2 + 1 = 165 - 105 + 55 = 115

Resposta

A integral de linha é igual a dfrac115.

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