Em cada um dos ítens abaixo, calcule a integral de linha dada.
©
, onde
é a curva fechada determinada pela reta
e pela parábola
.
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha fechada sobre uma curva específica. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de integrais de linha, mais especificamente usando o Teorema de Green para facilitar a resolução. Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green e identificar os limites da região delimitada pela reta e pela parábola dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Ela é fechada e é determinada pela interseção da reta
e da parábola
. Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber os limites da nossa região de integração.
Passo 3
Vamos igualar as duas equações para achar os valores de
onde elas se encontram:
Então,
ou
. Agora, substituímos esses valores de
em uma das equações para encontrar
correspondente:
- Para
: - Para
:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha sobre uma curva fechada em uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. O Teorema de Green é dado por:
No nosso caso, a integral é
, o que significa que
e
.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
Passo 6
Agora, precisamos definir os limites de integração para a região
delimitada pela reta e pela parábola. Observe que para
variando de
a
, a reta
está à direita da parábola
. Portanto, para cada
nesse intervalo,
varia de
a
.
Passo 7
Vamos montar a integral dupla:
Passo 8
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 9
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A integral de linha é igual a
.
Exercícios relacionados
Em cada um dos ítens abaixo, calcule a integral de linha dada.
(b) , onde
é a curva fechada determinada pelo eixo-
, pela reta
e pela curva
.
(b)
Em cada um dos ítens abaixo, calcule a integral de linha dada.
(a) , onde
é a curva fechada determinada pelo eixo-
, pela reta
e pela curva
.
(a)
Enuncie e prove o Teorema de Green para regiões dos tipos
e
, onde
são funções contínuas no intervalo
e
e
, onde
e
são funções contínuas no intervalo
.
Em cada um dos ítens abaixo, calcule a integral de linha dada.
(d) , onde
é a elipse
(d)