Em cada um dos ítens abaixo, calcule a integral de linha dada.
(d) ointgamma x^2 yx^2+1 d x-arctan x d y, onde gamma é a elipse 4 x^2+25 y^2=100

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos uma integral de linha ao redor de uma elipse. Vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema de Green, que ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender o enunciado, identificar as funções envolvidas e aplicar o teorema corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a integral que temos:
ointgamma x^2 yx^2+1 , dx - arctan(x) , dy
Aqui, é a elipse definida por .

Passo 3

Para aplicar o Teorema de Green, precisamos reescrever a integral no formato P = x^2 yx^2+1 e Q = -arctan(x) . No nosso caso:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy
O Teorema de Green nos diz que:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x ( -arctan(x) ) = -11 + x^2
partial Ppartial y = partialpartial y ( x^2 yx^2+1 ) = x^2x^2+1

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -11 + x^2 - x^21 + x^2 = -1 + x^21 + x^2 = -1

Passo 6

A integral dupla fica então:
integral duplaD (-1) , dx , dy = - integral duplaD , dx , dy
Isso significa que a integral de linha original é igual a menos a área da região limitada pela elipse.

Passo 7

Vamos calcular a área da elipse x^225 + y^24 = 1 . Primeiro, colocamos a equação na forma padrão dividindo tudo por 100:
Aqui, os semi-eixos são e .

Passo 8

A área A = pi times a times b = pi times 5 times 2 = 10pi de uma elipse é dada por:

Passo 9

Portanto, a integral de linha é:
- integral duplaD , dx , dy = -A = -10pi

Resposta

-10pi

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