Em cada um dos ítens abaixo, calcule a integral de linha dada.
(d) , onde é a elipse

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos uma integral de linha ao redor de uma elipse. Vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema de Green, que ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender o enunciado, identificar as funções envolvidas e aplicar o teorema corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a integral que temos:
Aqui, é a elipse definida por .

Passo 3

Para aplicar o Teorema de Green, precisamos reescrever a integral no formato . No nosso caso:
O Teorema de Green nos diz que:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:

Passo 6

A integral dupla fica então:
Isso significa que a integral de linha original é igual a menos a área da região limitada pela elipse.

Passo 7

Vamos calcular a área da elipse . Primeiro, colocamos a equação na forma padrão dividindo tudo por 100:
Aqui, os semi-eixos são e .

Passo 8

A área de uma elipse é dada por:

Passo 9

Portanto, a integral de linha é:

Resposta

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Enuncie e prove o Teorema de Green para regiões dos tipos e , onde são funções contínuas no intervalo e e , onde e são funções contínuas no intervalo .
Em cada um dos ítens abaixo, calcule a integral de linha dada.
© , onde é a curva fechada determinada pela reta e pela parábola .
Seja , onde
Verifique a validade do Teorema de Green para a região e sua fornteira . (Sugestão: o campo é especial… ele aparece numa fórmula de área. Use esta informação e a versão do T.G. para regiões com buracos).
Seja o triângulo da figura a seguir e a fronteira de orientada no sentido anti-horário. Sejam e de classe num aberto contendo . Prove que
(Sugestão: Prove que e .)