Em cada um dos ítens abaixo, calcule a integral de linha dada.
(d)
, onde
é a elipse
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos uma integral de linha ao redor de uma elipse. Vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema de Green, que ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender o enunciado, identificar as funções envolvidas e aplicar o teorema corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a integral que temos:
Aqui,
é a elipse definida por
.
Passo 3
Para aplicar o Teorema de Green, precisamos reescrever a integral no formato
. No nosso caso:
O Teorema de Green nos diz que:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Passo 6
A integral dupla fica então:
Isso significa que a integral de linha original é igual a menos a área da região
limitada pela elipse.
Passo 7
Vamos calcular a área da elipse
. Primeiro, colocamos a equação na forma padrão dividindo tudo por 100:
Aqui, os semi-eixos são
e
.
Passo 8
A área
de uma elipse é dada por:
Passo 9
Portanto, a integral de linha é:
Resposta
Exercícios relacionados
Enuncie e prove o Teorema de Green para regiões dos tipos
e
, onde
são funções contínuas no intervalo
e
e
, onde
e
são funções contínuas no intervalo
.
Em cada um dos ítens abaixo, calcule a integral de linha dada.
© , onde
é a curva fechada determinada pela reta
e pela parábola
.
©
Seja
, onde
Verifique a validade do Teorema de Green para a região
e sua fornteira
. (Sugestão: o campo
é especial… ele aparece numa fórmula de área. Use esta informação e a versão do T.G. para regiões com buracos).
Seja
o triângulo da figura a seguir e
a fronteira de
orientada no sentido anti-horário. Sejam
e
de classe
num aberto contendo
. Prove que
(Sugestão: Prove que
e
.)