Seja , onde
Verifique a validade do Teorema de Green para a região e sua fornteira . (Sugestão: o campo é especial… ele aparece numa fórmula de área. Use esta informação e a versão do T.G. para regiões com buracos).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma região que é definida como o conjunto menos as regiões e o interior de . A ideia é verificar se o Teorema de Green vale para essa região e sua fronteira . Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre integrais de linha e superfícies, além de como o Teorema de Green se aplica em regiões com “buracos”.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . A região é um círculo de raio 4, já que . A região é um círculo menor, com raio 1, centrado no ponto (2, 0). Já é outro círculo, com raio 2, centrado no ponto (-2, 0). Então, é basicamente o grande círculo sem o pequeno círculo e sem o interior de . Isso significa que tem dois “buracos”.

Passo 3

O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao redor da fronteira de uma região com uma integral dupla sobre a própria região. Mais especificamente, se temos um campo vetorial , o Teorema de Green nos diz que:
No caso desse exercício, a sugestão é que o campo é especial e aparece em uma fórmula de área. Um campo com essa propriedade é , porque a sua rotacional , o que facilita o cálculo da área da região .

Passo 4

Vamos calcular ambos os lados do Teorema de Green para verificar sua validade. Primeiro, a integral de linha ao redor de . Como tem dois buracos, sua fronteira é composta pela borda externa e pelas bordas internas e . Importante lembrar que as orientações dessas curvas são opostas: a fronteira externa é orientada no sentido anti-horário, e as internas no sentido horário.

Passo 5

Calculando a integral dupla do rotacional de sobre :
Á
A área de é a área do grande círculo menos a área de e a área de :
Á

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral de linha . Devido à escolha do campo , essa integral corresponde exatamente à soma das áreas das regiões delimitadas pelas curvas, considerando suas orientações. Ou seja:
ÁÁÁ

Resposta

O Teorema de Green é válido para a região e sua fronteira , já que ambas as integrais são iguais a .

Exercícios relacionados

Em cada um dos ítens abaixo, calcule a integral de linha dada.
(d) , onde é a elipse
Enuncie e prove o Teorema de Green para regiões dos tipos e , onde são funções contínuas no intervalo e e , onde e são funções contínuas no intervalo .
Seja o triângulo da figura a seguir e a fronteira de orientada no sentido anti-horário. Sejam e de classe num aberto contendo . Prove que
(Sugestão: Prove que e .)
Determine e para as seguintes funções de duas variáveis:
(a)