Seja
, onde
Verifique a validade do Teorema de Green para a região
e sua fornteira
. (Sugestão: o campo
é especial… ele aparece numa fórmula de área. Use esta informação e a versão do T.G. para regiões com buracos).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma região
que é definida como o conjunto
menos as regiões
e o interior de
. A ideia é verificar se o Teorema de Green vale para essa região
e sua fronteira
. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre integrais de linha e superfícies, além de como o Teorema de Green se aplica em regiões com “buracos”.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. A região
é um círculo de raio 4, já que
. A região
é um círculo menor, com raio 1, centrado no ponto (2, 0). Já
é outro círculo, com raio 2, centrado no ponto (-2, 0). Então,
é basicamente o grande círculo
sem o pequeno círculo
e sem o interior de
. Isso significa que
tem dois “buracos”.
Passo 3
O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao redor da fronteira de uma região com uma integral dupla sobre a própria região. Mais especificamente, se temos um campo vetorial
, o Teorema de Green nos diz que:
No caso desse exercício, a sugestão é que o campo
é especial e aparece em uma fórmula de área. Um campo com essa propriedade é
, porque a sua rotacional
, o que facilita o cálculo da área da região
.
Passo 4
Vamos calcular ambos os lados do Teorema de Green para verificar sua validade. Primeiro, a integral de linha ao redor de
. Como
tem dois buracos, sua fronteira
é composta pela borda externa
e pelas bordas internas
e
. Importante lembrar que as orientações dessas curvas são opostas: a fronteira externa é orientada no sentido anti-horário, e as internas no sentido horário.
Passo 5
Calculando a integral dupla do rotacional de
sobre
:
A área de
é a área do grande círculo
menos a área de
e a área de
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral de linha
. Devido à escolha do campo
, essa integral corresponde exatamente à soma das áreas das regiões delimitadas pelas curvas, considerando suas orientações. Ou seja:
Resposta
O Teorema de Green é válido para a região
e sua fronteira
, já que ambas as integrais são iguais a
.
Exercícios relacionados
Em cada um dos ítens abaixo, calcule a integral de linha dada.
(d) , onde
é a elipse
(d)
Enuncie e prove o Teorema de Green para regiões dos tipos
e
, onde
são funções contínuas no intervalo
e
e
, onde
e
são funções contínuas no intervalo
.
Seja
o triângulo da figura a seguir e
a fronteira de
orientada no sentido anti-horário. Sejam
e
de classe
num aberto contendo
. Prove que
(Sugestão: Prove que
e
.)
Determine
e
para as seguintes funções de duas variáveis:
(a)
(a)