Seja o triângulo da figura a seguir e a fronteira de orientada no sentido anti-horário. Sejam e de classe num aberto contendo . Prove que
(Sugestão: Prove que e .)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente provar uma relação entre duas integrais: uma sobre a fronteira do triângulo , chamada , e outra sobre a própria área do triângulo. O conteúdo aqui é Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais de área. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green e trabalhar com derivadas parciais das funções e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Ele estabelece que, para uma curva fechada que delimita uma região no plano, a integral de linha de sobre é igual à integral dupla sobre da expressão .
Matematicamente, isso é escrito como:

Passo 3

Agora, vamos seguir a sugestão do enunciado e dividir a integral de linha em duas partes: uma envolvendo e outra envolvendo .
Primeiro, consideremos a integral . Segundo o Teorema de Green, essa parte pode ser relacionada à integral dupla de sobre .
Ou seja:

Passo 4

De maneira similar, vamos analisar a integral . Aplicando novamente o Teorema de Green, isso se relaciona com a integral dupla de sobre .
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos juntar as duas partes que calculamos. Somando as duas integrais de linha:
Isso simplifica para:

Resposta

Pronto! Mostramos que a integral de linha sobre a fronteira do triângulo é igual à integral dupla sobre da expressão . Isso confirma o que o exercício pedia, aplicando o Teorema de Green.

Exercícios relacionados

Seja , onde
Verifique a validade do Teorema de Green para a região e sua fornteira . (Sugestão: o campo é especial… ele aparece numa fórmula de área. Use esta informação e a versão do T.G. para regiões com buracos).
Em cada um dos ítens abaixo, calcule a integral de linha dada.
(d) , onde é a elipse
Determine e para as seguintes funções de duas variáveis:
(a)
Sejam . Determine de dois modos:
(b) Determinando a função composta e derivando em relação a .