Seja K o triângulo da figura a seguir e gamma a fronteira de K orientada no sentido anti-horário. Sejam P(x, y) e Q(x, y) de classe C^1 num aberto contendo K. Prove que
integral duplagamma P d x+Q d y=integral duplaK(partial Qpartial x-partial Ppartial y) d x d y
(Sugestão: Prove que integral duplagamma P d x=-integral duplaK partial Ppartial y d x d y e integral duplagamma Q d x=integral duplaK partial Qpartial x d x d y.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente provar uma relação entre duas integrais: uma sobre a fronteira do triângulo K, chamada gamma, e outra sobre a própria área do triângulo. O conteúdo aqui é Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais de área. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green e trabalhar com derivadas parciais das funções P e Q.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Ele estabelece que, para uma curva fechada gamma que delimita uma região K no plano, a integral de linha de P dx + Q dy sobre gamma é igual à integral dupla sobre K da expressão partial Qpartial x - partial Ppartial y.
Matematicamente, isso é escrito como:
ointgamma P,dx + Q,dy = integral duplaK ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy

Passo 3

Agora, vamos seguir a sugestão do enunciado e dividir a integral de linha em duas partes: uma envolvendo P dx e outra envolvendo Q dy.
Primeiro, consideremos a integral ointgamma P,dx. Segundo o Teorema de Green, essa parte pode ser relacionada à integral dupla de -partial Ppartial y sobre K.
Ou seja:
ointgamma P,dx = -integral duplaK partial Ppartial y ,dx,dy

Passo 4

De maneira similar, vamos analisar a integral ointgamma Q,dy. Aplicando novamente o Teorema de Green, isso se relaciona com a integral dupla de partial Qpartial x sobre K.
Portanto:
ointgamma Q,dy = integral duplaK partial Qpartial x ,dx,dy

Passo 5

Agora, vamos juntar as duas partes que calculamos. Somando as duas integrais de linha:
ointgamma P,dx + Q,dy = ( -integral duplaK partial Ppartial y ,dx,dy ) + integral duplaK partial Qpartial x ,dx,dy
Isso simplifica para:
ointgamma P,dx + Q,dy = integral duplaK ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy

Resposta

Pronto! Mostramos que a integral de linha ointgamma P,dx + Q,dy sobre a fronteira do triângulo K é igual à integral dupla sobre K da expressão partial Qpartial x - partial Ppartial y. Isso confirma o que o exercício pedia, aplicando o Teorema de Green.
ointgamma P,dx + Q,dy = integral duplaK ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy

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