Seja
o triângulo da figura a seguir e
a fronteira de
orientada no sentido anti-horário. Sejam
e
de classe
num aberto contendo
. Prove que
(Sugestão: Prove que
e
.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente provar uma relação entre duas integrais: uma sobre a fronteira do triângulo
, chamada
, e outra sobre a própria área do triângulo. O conteúdo aqui é Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais de área. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green e trabalhar com derivadas parciais das funções
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Ele estabelece que, para uma curva fechada
que delimita uma região
no plano, a integral de linha de
sobre
é igual à integral dupla sobre
da expressão
.
Matematicamente, isso é escrito como:
Passo 3
Agora, vamos seguir a sugestão do enunciado e dividir a integral de linha em duas partes: uma envolvendo
e outra envolvendo
.
Primeiro, consideremos a integral
. Segundo o Teorema de Green, essa parte pode ser relacionada à integral dupla de
sobre
.
Ou seja:
Passo 4
De maneira similar, vamos analisar a integral
. Aplicando novamente o Teorema de Green, isso se relaciona com a integral dupla de
sobre
.
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos juntar as duas partes que calculamos. Somando as duas integrais de linha:
Isso simplifica para:
Resposta
Pronto! Mostramos que a integral de linha
sobre a fronteira do triângulo
é igual à integral dupla sobre
da expressão
. Isso confirma o que o exercício pedia, aplicando o Teorema de Green.